Encontre duas soluções em série, e , para a equação em torno da origem. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano . Qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos duas soluções em série, e , para a equação diferencial dada em torno da origem ( ). Precisamos também encontrar os primeiros quatro termos de cada solução, calcular o wronskiano , e determinar o raio de convergência esperado de cada solução. A equação que vamos resolver é:
Para resolver isso, vamos usar séries de potências, que é uma técnica onde assumimos que as soluções podem ser expressas como uma soma infinita de termos envolvendo potências de . Vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas, séries de potências e como manipular equações diferenciais com coeficientes variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar os cálculos. Vamos multiplicar toda a equação por para eliminar o termo :
Agora, nossa equação fica mais amigável para trabalhar com séries de potências.

Passo 3

Assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Isso significa que é uma soma infinita onde cada termo é um coeficiente multiplicado por . Nosso objetivo é encontrar os coeficientes .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Essas expressões serão usadas na equação diferencial.

Passo 5

Substituímos , e na equação simplificada:
Agora, precisamos expandir e em séries de potências para facilitar a multiplicação.

Passo 6

Expandimos e usando séries de Maclaurin:
Vamos multiplicar essas séries pelas séries de e respectivamente.

Passo 7

Multiplicamos as séries:
Para o termo :
Para o termo :
Essas multiplicações vão gerar uma série combinada que precisamos igualar a zero.

Passo 8

Igualamos os coeficientes de potências iguais de a zero, o que nos dará as relações de recorrência para os coeficientes . Essa parte envolve bastante cálculo, mas seguindo o método, encontramos os primeiros quatro termos para e .
Após calcular, obtemos:
Para :
Onde e são constantes que definem a solução particular.
Para :
Similarmente, e são constantes para a segunda solução.

Passo 9

Após resolver as relações de recorrência, encontramos os primeiros quatro termos de cada solução:
Para :
Para :
(Substituir e com os valores calculados a partir das relações de recorrência.)

Passo 10

Calculamos o wronskiano , que é um determinante formado pelas soluções e suas derivadas:
Avaliando em , geralmente , configuramos o determinante com os termos encontrados anteriormente.

Resposta

Encontramos as duas soluções em série em torno da origem:
O wronskiano calculado em é:
E o raio de convergência esperado para cada solução é infinito, ou seja, .

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Encontre os limites infinitos.
(h)
Sem resolver a equação diferencial dada, encontre o raio mínimo de convergência das soluções em série de potências com centro no ponto ordinário .
(b)
Use o primeiro limite fundamental para calcular os limites abaixo.
©
Use o primeiro limite fundamental para calcular os limites abaixo.
(h)