Use o primeiro limite fundamental
para calcular os limites abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite
Para isso, vamos usar o limite fundamental
. Vamos precisar entender como as funções
e
se comportam quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão quando
está perto de
:
-
: Sabemos que . Então, conforme , . -
: A cotangente é definida como . Quando , e . Portanto, .
Então, tanto o numerador quanto o denominador
estão se aproximando de 0. Isso nos dá uma forma indeterminada
, o que é um sinal de que podemos aplicar o limite fundamental.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão fazendo uma substituição. Seja
. Quando
,
. Reescrevendo o limite em termos de
:
Sabemos que . Como quando
, podemos aproximar
. Então, o limite fica:
E sabemos pelo limite fundamental que:
Resposta
O limite é igual a 1.
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Encontre duas soluções em série,
e
, para a equação em torno da origem. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano
. Qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
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Encontre os limites infinitos.
(h)
(h)
Use o primeiro limite fundamental
para calcular os limites abaixo.
(h)
(h)
Use os limites fundamentais
, com
, e
para calcular os limites abaixo.
(d)
(d)