Use o primeiro limite fundamental para calcular os limites abaixo.
©

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite
Para isso, vamos usar o limite fundamental . Vamos precisar entender como as funções e se comportam quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão quando está perto de :
  • : Sabemos que . Então, conforme , .
  • : A cotangente é definida como . Quando , e . Portanto, .
Então, tanto o numerador quanto o denominador estão se aproximando de 0. Isso nos dá uma forma indeterminada , o que é um sinal de que podemos aplicar o limite fundamental.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão fazendo uma substituição. Seja . Quando , . Reescrevendo o limite em termos de :
Sabemos que . Como quando , podemos aproximar . Então, o limite fica:
E sabemos pelo limite fundamental que:

Resposta

O limite é igual a 1.

Exercícios relacionados

Encontre duas soluções em série, e , para a equação em torno da origem. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano . Qual o valor que você espera que tenha o raio de convergência de cada solução?
©
Encontre os limites infinitos.
(h)
Use o primeiro limite fundamental para calcular os limites abaixo.
(h)
Use os limites fundamentais , com , e para calcular os limites abaixo.
(d)