Use o primeiro limite fundamental lim x 0 sen xx=1 para calcular os limites abaixo.
© lim theta pi / 2 sen(cos theta)cot theta

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite
lim theta pi / 2 sen(cos theta)cot theta
Para isso, vamos usar o limite fundamental . Vamos precisar entender como as funções e se comportam quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão quando está perto de :
  • : Sabemos que . Então, conforme , .
  • : A cotangente é definida como . Quando , e . Portanto, .
Então, tanto o numerador quanto o denominador estão se aproximando de 0. Isso nos dá uma forma indeterminada , o que é um sinal de que podemos aplicar o limite fundamental.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão fazendo uma substituição. Seja limx to 0 sen xcot theta . Quando limx to 0 sen xx , limx to 0 sen xx = 1 . Reescrevendo o limite em termos de :
Sabemos que . Como quando , podemos aproximar . Então, o limite fica:
E sabemos pelo limite fundamental que:

Resposta

O limite é igual a 1.

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