Encontre duas soluções, em série de potências, para a equação diferencial em torno do ponto ordinário .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando séries de potências em torno de . O que precisamos aqui é encontrar duas soluções para essa equação. Vamos precisar entender como funções podem ser representadas como séries de potências e como substituir isso na equação diferencial para encontrar os coeficientes das séries.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :

Passo 4

Substituímos e na equação diferencial:
Vamos ajustar os índices das somas para que todas as potências de tenham o mesmo expoente.

Passo 5

Reescrevemos a primeira soma mudando o índice para :
A segunda soma fica:

Passo 6

Agora, a equação fica:
Para igualar os coeficientes, observamos que o lado direito da equação é apenas , que pode ser escrito como .

Passo 7

Igualamos os coeficientes de para cada :
Para :
Para :

Passo 8

Agora, usamos a relação de recorrência para encontrar os coeficientes . Vamos começar assumindo alguns valores iniciais, por exemplo, e , que serão diferentes dependendo se estamos encontrando a solução homogênea ou particular.
Para a solução homogênea ( ), definimos o lado direito como zero:
E para a solução particular ( ), buscamos uma solução específica que satisfaça a equação completa.

Passo 9

Após calcular os coeficientes usando a relação de recorrência, obtemos as duas soluções:
  1. Solução Homogênea:
  1. Solução Particular:

Resposta

As duas soluções em série de potências para a equação diferencial são:
e

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