Encontre duas soluções, em série de potências, para a equação diferencial em torno do ponto ordinário
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial
usando séries de potências em torno de
. O que precisamos aqui é encontrar duas soluções para essa equação. Vamos precisar entender como funções podem ser representadas como séries de potências e como substituir isso na equação diferencial para encontrar os coeficientes das séries.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial:
Vamos ajustar os índices das somas para que todas as potências de
tenham o mesmo expoente.
Passo 5
Reescrevemos a primeira soma mudando o índice para
:
A segunda soma fica:
Passo 6
Agora, a equação fica:
Para igualar os coeficientes, observamos que o lado direito da equação é apenas
, que pode ser escrito como
.
Passo 7
Igualamos os coeficientes de
para cada
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, usamos a relação de recorrência para encontrar os coeficientes
. Vamos começar assumindo alguns valores iniciais, por exemplo,
e
, que serão diferentes dependendo se estamos encontrando a solução homogênea ou particular.
Para a solução homogênea (
), definimos o lado direito como zero:
E para a solução particular (
), buscamos uma solução específica que satisfaça a equação completa.
Passo 9
Após calcular os coeficientes usando a relação de recorrência, obtemos as duas soluções:
- Solução Homogênea:
- Solução Particular:
Resposta
As duas soluções em série de potências para a equação diferencial são:
e
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