Encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial e quer encontrar duas soluções em série de potências que sejam independentes entre si, centradas em
. Vamos usar conceitos de séries de potências e equações diferenciais para resolver isso. Precisaremos desenvolver a solução como uma série, calcular as derivadas, substituir na equação original e igualar os coeficientes para encontrar os termos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial dada:
Ficando:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 6
Agora, alinhamos todas as séries para ter potências de
:
- Ajustar o índice das séries para que todas comecem com
ou . - Reescrever as somas para combinar os termos semelhantes.
Após ajustar, a equação fica:
Passo 7
Para que a equação seja verdadeira para todo
, cada coeficiente de
deve ser igual a zero. Então, igualamos os coeficientes:
Simplificando:
Passo 8
Agora, resolvemos essa relação de recorrência para encontrar os coeficientes
em função de
e
:
Isso nos permite calcular cada coeficiente passo a passo.
Passo 9
Aplicamos as condições iniciais para encontrar os coeficientes
e
:
Dado que
e
:
Passo 10
Agora, usamos a relação de recorrência para encontrar
:
Por exemplo, para
:
Continuando esse processo, encontramos os demais coeficientes.
Resposta
As duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno de
são:
(Os termos adicionais podem ser calculados seguindo a relação de recorrência estabelecida.)
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, o número
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é proporcional ao produto do número de indivíduos que têm a doença pelo número dos que não a têm,
Quanto tempo levará para que outras 5.000 pessoas peguem a doença?
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