Encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial e quer encontrar duas soluções em série de potências que sejam independentes entre si, centradas em . Vamos usar conceitos de séries de potências e equações diferenciais para resolver isso. Precisaremos desenvolver a solução como uma série, calcular as derivadas, substituir na equação original e igualar os coeficientes para encontrar os termos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial dada:
Ficando:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:

Passo 6

Agora, alinhamos todas as séries para ter potências de :
  • Ajustar o índice das séries para que todas comecem com ou .
  • Reescrever as somas para combinar os termos semelhantes.
Após ajustar, a equação fica:

Passo 7

Para que a equação seja verdadeira para todo , cada coeficiente de deve ser igual a zero. Então, igualamos os coeficientes:
Simplificando:

Passo 8

Agora, resolvemos essa relação de recorrência para encontrar os coeficientes em função de e :
Isso nos permite calcular cada coeficiente passo a passo.

Passo 9

Aplicamos as condições iniciais para encontrar os coeficientes e :
Dado que e :

Passo 10

Agora, usamos a relação de recorrência para encontrar :
Por exemplo, para :
Continuando esse processo, encontramos os demais coeficientes.

Resposta

As duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno de são:
(Os termos adicionais podem ser calculados seguindo a relação de recorrência estabelecida.)

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