Suponha que uma comunidade de 15.000 pessoas está exposta a uma doença contagiosa que se espalha. No instante
, o número
de pessoas que infectadas é de 5.000 e está crescendo a uma taxa de 500 pessoas por dia. A taxa de crescimento
em cada instante depende da probabilidade de encontro de uma pessoa saudável com uma doente neste instante. Dado que este fato se expressa matematicamente dizendo que
é proporcional ao produto do número de indivíduos que têm a doença pelo número dos que não a têm,
Quanto tempo levará para que outras 5.000 pessoas peguem a doença?
Quanto tempo levará para que outras 5.000 pessoas peguem a doença?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma comunidade de 15.000 pessoas expostas a uma doença contagiosa. No início, ou seja, quando
, já tem 5.000 pessoas infectadas e esse número está crescendo a uma taxa de 500 pessoas por dia. A taxa de crescimento
depende da chance de uma pessoa saudável encontrar uma doente, o que matematicamente significa que
é proporcional ao produto do número de doentes pelo número de saudáveis. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais e modelos de crescimento populacional, especialmente o modelo logístico. Vamos precisar entender como configurar e resolver uma equação diferencial para encontrar o tempo necessário para que mais 5.000 pessoas fiquem infectadas.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir a informação sobre a taxa de crescimento em uma equação matemática. Sabemos que
é proporcional a
, onde
é o número de pessoas infectadas no tempo
. Isso pode ser escrito como:
Aqui,
é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.
Passo 3
Para achar o valor de
, usamos as informações iniciais. Sabemos que no instante
,
e
. Substituindo esses valores na equação:
Passo 4
Agora que temos
, nossa equação diferencial fica:
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver usando métodos de separação de variáveis ou reconhecendo que é uma equação logística.
Passo 5
A solução geral da equação logística é:
onde:
-
é a capacidade de suporte, que aqui é 15.000 pessoas, -
é a taxa de crescimento, -
é uma constante que depende das condições iniciais.
Vamos adaptar essa fórmula para o nosso caso.
Passo 6
Primeiro, calculamos
. Sabemos que
:
Agora, usando a condição inicial
, encontramos
:
Passo 7
Agora, temos a equação específica para
:
Queremos descobrir quando mais 5.000 pessoas pegarão a doença, ou seja, quando
.
Passo 8
Substituímos
na equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para
:
Resposta
Levará aproximadamente 9,24 dias para que mais 5.000 pessoas contraiam a doença.
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Encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário
.
Se
, entano
vale
d. 2 z
e.
a.
b.
c.
d. 2 z
e.
a.
b.
c.
Encontre duas soluções, em série de potências, para a equação diferencial em torno do ponto ordinário
.
Encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário
.