Suponha que uma comunidade de 15.000 pessoas está exposta a uma doença contagiosa que se espalha. No instante t = 0, o número N(t) de pessoas que infectadas é de 5.000 e está crescendo a uma taxa de 500 pessoas por dia. A taxa de crescimento N'(t) em cada instante depende da probabilidade de encontro de uma pessoa saudável com uma doente neste instante. Dado que este fato se expressa matematicamente dizendo que N'(t) é proporcional ao produto do número de indivíduos que têm a doença pelo número dos que não a têm,
Quanto tempo levará para que outras 5.000 pessoas peguem a doença?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma comunidade de 15.000 pessoas expostas a uma doença contagiosa. No início, ou seja, quando , já tem 5.000 pessoas infectadas e esse número está crescendo a uma taxa de 500 pessoas por dia. A taxa de crescimento depende da chance de uma pessoa saudável encontrar uma doente, o que matematicamente significa que é proporcional ao produto do número de doentes pelo número de saudáveis. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais e modelos de crescimento populacional, especialmente o modelo logístico. Vamos precisar entender como configurar e resolver uma equação diferencial para encontrar o tempo necessário para que mais 5.000 pessoas fiquem infectadas.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir a informação sobre a taxa de crescimento em uma equação matemática. Sabemos que é proporcional a , onde é o número de pessoas infectadas no tempo . Isso pode ser escrito como:
Aqui, é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.

Passo 3

Para achar o valor de , usamos as informações iniciais. Sabemos que no instante , e . Substituindo esses valores na equação:

Passo 4

Agora que temos , nossa equação diferencial fica:
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver usando métodos de separação de variáveis ou reconhecendo que é uma equação logística.

Passo 5

A solução geral da equação logística é:
onde:
  • é a capacidade de suporte, que aqui é 15.000 pessoas,
  • é a taxa de crescimento,
  • é uma constante que depende das condições iniciais.
Vamos adaptar essa fórmula para o nosso caso.

Passo 6

Primeiro, calculamos . Sabemos que :
Agora, usando a condição inicial , encontramos :

Passo 7

Agora, temos a equação específica para :
Queremos descobrir quando mais 5.000 pessoas pegarão a doença, ou seja, quando .

Passo 8

Substituímos na equação:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para :

Resposta

Levará aproximadamente 9,24 dias para que mais 5.000 pessoas contraiam a doença.

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