Suponha que uma comunidade de 15.000 pessoas está exposta a uma doença contagiosa que se espalha. No instante , o número de pessoas que infectadas é de 5.000 e está crescendo a uma taxa de 500 pessoas por dia. A taxa de crescimento em cada instante depende da probabilidade de encontro de uma pessoa saudável com uma doente neste instante. Dado que este fato se expressa matematicamente dizendo que é proporcional ao produto do número de indivíduos que têm a doença pelo número dos que não a têm,
Quanto tempo levará para que outras 5.000 pessoas peguem a doença?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma comunidade de 15.000 pessoas expostas a uma doença contagiosa. No início, ou seja, quando , já tem 5.000 pessoas infectadas e esse número está crescendo a uma taxa de 500 pessoas por dia. A taxa de crescimento depende da chance de uma pessoa saudável encontrar uma doente, o que matematicamente significa que é proporcional ao produto do número de doentes pelo número de saudáveis. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais e modelos de crescimento populacional, especialmente o modelo logístico. Vamos precisar entender como configurar e resolver uma equação diferencial para encontrar o tempo necessário para que mais 5.000 pessoas fiquem infectadas.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir a informação sobre a taxa de crescimento em uma equação matemática. Sabemos que é proporcional a , onde é o número de pessoas infectadas no tempo . Isso pode ser escrito como:
Aqui, é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.

Passo 3

Para achar o valor de , usamos as informações iniciais. Sabemos que no instante , e . Substituindo esses valores na equação:

Passo 4

Agora que temos , nossa equação diferencial fica:
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver usando métodos de separação de variáveis ou reconhecendo que é uma equação logística.

Passo 5

A solução geral da equação logística é:
onde:
  • é a capacidade de suporte, que aqui é 15.000 pessoas,
  • é a taxa de crescimento,
  • é uma constante que depende das condições iniciais.
Vamos adaptar essa fórmula para o nosso caso.

Passo 6

Primeiro, calculamos . Sabemos que :
Agora, usando a condição inicial , encontramos :

Passo 7

Agora, temos a equação específica para :
Queremos descobrir quando mais 5.000 pessoas pegarão a doença, ou seja, quando .

Passo 8

Substituímos na equação:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para :

Resposta

Levará aproximadamente 9,24 dias para que mais 5.000 pessoas contraiam a doença.

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Se , entano vale
d. 2 z
e.
a.
b.
c.
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