Encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. A matéria que vamos usar aqui é a de séries de potências, que serve para encontrar soluções de equações diferenciais perto de um ponto ordinário, que nesse caso é
. Para resolver, vamos precisar assumir que a solução pode ser representada como uma série de potências e encontrar os coeficientes dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Aqui,
são os coeficientes que a gente precisa encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
em termos da série:
Essas derivadas serão usadas na equação diferencial original.
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial:
Vamos simplificar os índices para facilitar a comparação dos termos.
Passo 5
Reescrevemos os índices para que todas as séries comecem de
:
Agora, ajustamos o segundo somatório para que ele também esteja em termos de
:
Passo 6
Igualamos os coeficientes de cada potência de
a zero:
Para :
Para
Para
:
Essa é a relação de recorrência que vamos usar para encontrar os coeficientes.
Passo 7
Agora, precisamos determinar os coeficientes
. Note que a equação de recorrência envolve
, então os coeficientes dependem de termos anteriores. Vamos assumir
e
como constantes arbitrárias, já que são os termos iniciais da série.
Vamos calcular alguns coeficientes:
- Já sabemos que
a partir de . - Para
:
- Para
:
E assim por diante.
Passo 8
Observe que os coeficientes
alternam entre depender de
e
. Isso indica que teremos duas soluções independentes:
- Uma solução onde
(dependente de ). - Outra solução onde
(dependente de ).
Vamos chamar essas soluções de
e
, respectivamente.
Passo 9
Construímos as duas soluções usando os coeficientes calculados:
Essas séries representam duas soluções linearmente independentes da equação diferencial original.
Resposta
Duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno de
são:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Se
, entano
vale
d. 2 z
e.
a.
b.
c.
d. 2 z
e.
a.
b.
c.
Encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário
.
Suponha que uma comunidade de 15.000 pessoas está exposta a uma doença contagiosa que se espalha. No instante
, o número
de pessoas que infectadas é de 5.000 e está crescendo a uma taxa de 500 pessoas por dia. A taxa de crescimento
em cada instante depende da probabilidade de encontro de uma pessoa saudável com uma doente neste instante. Dado que este fato se expressa matematicamente dizendo que
é proporcional ao produto do número de indivíduos que têm a doença pelo número dos que não a têm,
Quanto tempo levará para que outras 5.000 pessoas peguem a doença?
Quanto tempo levará para que outras 5.000 pessoas peguem a doença?
Encontre duas soluções, em série de potências, para a equação diferencial em torno do ponto ordinário
.