Encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0.
y'' - x y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A matéria que vamos usar aqui é a de séries de potências, que serve para encontrar soluções de equações diferenciais perto de um ponto ordinário, que nesse caso é . Para resolver, vamos precisar assumir que a solução pode ser representada como uma série de potências e encontrar os coeficientes dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em :
Aqui, são os coeficientes que a gente precisa encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de em termos da série:
Essas derivadas serão usadas na equação diferencial original.

Passo 4

Substituímos e na equação diferencial:
Vamos simplificar os índices para facilitar a comparação dos termos.

Passo 5

Reescrevemos os índices para que todas as séries comecem de :
Agora, ajustamos o segundo somatório para que ele também esteja em termos de :

Passo 6

Igualamos os coeficientes de cada potência de a zero:
Para :
Para :
Essa é a relação de recorrência que vamos usar para encontrar os coeficientes.

Passo 7

Agora, precisamos determinar os coeficientes . Note que a equação de recorrência envolve , então os coeficientes dependem de termos anteriores. Vamos assumir e como constantes arbitrárias, já que são os termos iniciais da série.
Vamos calcular alguns coeficientes:
  • Já sabemos que a partir de .
  • Para :
  • Para :
E assim por diante.

Passo 8

Observe que os coeficientes alternam entre depender de e . Isso indica que teremos duas soluções independentes:
  1. Uma solução onde (dependente de ).
  2. Outra solução onde (dependente de ).
Vamos chamar essas soluções de e , respectivamente.

Passo 9

Construímos as duas soluções usando os coeficientes calculados:
Essas séries representam duas soluções linearmente independentes da equação diferencial original.

Resposta

Duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno de são:
onde e são constantes arbitrárias.

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