Se , entano vale
d. 2 z
e.
a.
b.
c.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos calcular a expressão . Aqui, estamos lidando com derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de mais de uma variável.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é:
Para derivar em relação a , usamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é:
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos montar a expressão que precisamos calcular:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Distribuindo :
Observamos que os termos com se cancelam:

Passo 5

Agora, lembrando que , podemos substituir:

Resposta

e.

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Suponha que uma comunidade de 15.000 pessoas está exposta a uma doença contagiosa que se espalha. No instante , o número de pessoas que infectadas é de 5.000 e está crescendo a uma taxa de 500 pessoas por dia. A taxa de crescimento em cada instante depende da probabilidade de encontro de uma pessoa saudável com uma doente neste instante. Dado que este fato se expressa matematicamente dizendo que é proporcional ao produto do número de indivíduos que têm a doença pelo número dos que não a têm,
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Quanto tempo levará para que outras 5.000 pessoas peguem a doença?