Use os limites fundamentais lim x 0 a^x-1x=ln a, com a>0, e lim x infty(1+1x)^x=e para calcular os limites abaixo.
(b) lim x infty(xx+1)^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos usar alguns limites fundamentais que envolvem a constante matemática .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observamos que:
xx + 1 = x + 1 - 1x + 1 = 1 - 1x + 1
Então, podemos reescrever o limite da seguinte forma:
limx infty(1 - 1x+1)^x

Passo 3

Agora, queremos relacionar essa expressão com o limite fundamental . Para isso, vamos manipular a expressão para que fique na forma , onde é uma constante.

Passo 4

Observamos que:
(1 - 1x+1)^x = [(1 - 1x+1)^x+1]^xx+1
À medida que (1 - 1x+1)^x approx (1 - 1x)^x tende ao infinito, tende a 1. Portanto, podemos aproximar:

Passo 5

Sabemos que , que é semelhante ao limite fundamental envolvendo . Essa relação nos diz que conforme cresce, a expressão tende a .

Passo 6

Portanto, aplicando esse resultado ao nosso limite original, concluímos que:
limx infty(xx+1)^x = 1e

Resposta

O limite é igual a .

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