Encontre duas soluções em série,
e
, para a equação em torno de
. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano
. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
A gente precisa encontrar duas soluções em série,
e
, ao redor de
. Depois, vamos encontrar os primeiros quatro termos de cada solução, calcular o wronskiano dessas soluções no ponto
, e, se der, achar o termo geral de cada série.
Para resolver isso, vamos usar o método das séries de potências, que é uma técnica para resolver equações diferenciais encontrando soluções como somas infinitas de termos envolvendo potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar as contas. Vamos definir:
Assim,
, e estamos expandindo em série em torno de
(que corresponde a
).
Agora, reescrevemos a equação diferencial em termos de
. Vamos substituir
por
e reescrever as derivadas usando
.
Passo 3
Assumimos que as soluções
podem ser escritas como séries de potências em
:
Derivando termo a termo, encontramos:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Vamos reorganizar os termos para igualar os coeficientes de cada potência de
a zero.
Passo 5
Primeiro, ajustamos os índices das séries para que todas tenham potências de
:
- Na primeira soma, substituímos
por :
- Na segunda soma, distribuímos
:
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, alinhamos todas as séries para potências de
:
Para a segunda soma, fazemos
:
Agora, todas as séries estão em termos de
:
Passo 7
Agora, combinamos todas as séries em uma única soma:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero:
Passo 8
Resolva a relação de recorrência para
:
Simplificando:
Passo 9
Encontramos duas soluções diferentes dependendo dos valores iniciais. Vamos assumir duas situações:
- Solução 1 (
): Começa com e - Solução 2 (
): Começa com e
Vamos calcular os coeficientes para as duas soluções.
Passo 10
Para
(
e
):
-
(constante arbitrária, vamos tomar para simplificar) -
Usando a relação de recorrência:
Então, os primeiros quatro termos de
são:
Passo 11
Para
(
e
):
-
-
(vamos tomar )
Usando a relação de recorrência:
Então, os primeiros quatro termos de
são:
Passo 12
Agora, vamos reescrever as soluções em termos de
(lembrando que
):
Solução 1:
Solução 2:
Passo 13
Vamos calcular o wronskiano
no ponto
. Primeiro, precisamos das derivadas de
e
:
No ponto
(
):
O wronskiano é dado por:
No ponto
:
Passo 14
Finalmente, se quisermos encontrar o termo geral para cada solução, observamos o padrão dos coeficientes:
Para
:
Os coeficientes parecem seguir uma relação onde
para
, ajustando conforme a recorrência.
Então, o termo geral seria:
Para
:
Os coeficientes também seguem uma relação similar, mas com um fator adicional devido à condição inicial diferente.
Então, o termo geral seria:
Resposta
As duas soluções em série são:
O wronskiano no ponto
é:
E os termos gerais das soluções são:
Exercícios relacionados
Dê a relação que existe entre
e
, se
e
.
Calcule
.
Mostre que se
é derivável em
e
0 , então o coeficiente angular da reta normal ao gráfico de
em
é
. A reta passando pelo ponto
perpendicular à reta tangente ao gráfico de
em
é chamada de reta normal ao gráfico de
em
.
Explique brevemente o significado das equações abaixo e responda aos questionamentos.
(b) Se e
, podemos afirmar que
?
(b) Se