Encontre duas soluções em série, e , para a equação em torno de . Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano . Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(g)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
A gente precisa encontrar duas soluções em série, e , ao redor de . Depois, vamos encontrar os primeiros quatro termos de cada solução, calcular o wronskiano dessas soluções no ponto , e, se der, achar o termo geral de cada série.
Para resolver isso, vamos usar o método das séries de potências, que é uma técnica para resolver equações diferenciais encontrando soluções como somas infinitas de termos envolvendo potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar as contas. Vamos definir:
Assim, , e estamos expandindo em série em torno de (que corresponde a ).
Agora, reescrevemos a equação diferencial em termos de . Vamos substituir por e reescrever as derivadas usando .

Passo 3

Assumimos que as soluções podem ser escritas como séries de potências em :
Derivando termo a termo, encontramos:

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial:
Vamos reorganizar os termos para igualar os coeficientes de cada potência de a zero.

Passo 5

Primeiro, ajustamos os índices das séries para que todas tenham potências de :
  1. Na primeira soma, substituímos por :
  1. Na segunda soma, distribuímos :
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, alinhamos todas as séries para potências de :
Para a segunda soma, fazemos :
Agora, todas as séries estão em termos de :

Passo 7

Agora, combinamos todas as séries em uma única soma:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero:

Passo 8

Resolva a relação de recorrência para :
Simplificando:

Passo 9

Encontramos duas soluções diferentes dependendo dos valores iniciais. Vamos assumir duas situações:
  1. Solução 1 ( ): Começa com e
  2. Solução 2 ( ): Começa com e
Vamos calcular os coeficientes para as duas soluções.

Passo 10

Para ( e ):
  • (constante arbitrária, vamos tomar para simplificar)
Usando a relação de recorrência:
Então, os primeiros quatro termos de são:

Passo 11

Para ( e ):
  • (vamos tomar )
Usando a relação de recorrência:
Então, os primeiros quatro termos de são:

Passo 12

Agora, vamos reescrever as soluções em termos de (lembrando que ):
Solução 1:
Solução 2:

Passo 13

Vamos calcular o wronskiano no ponto . Primeiro, precisamos das derivadas de e :
No ponto ( ):
O wronskiano é dado por:
No ponto :

Passo 14

Finalmente, se quisermos encontrar o termo geral para cada solução, observamos o padrão dos coeficientes:
Para :
Os coeficientes parecem seguir uma relação onde para , ajustando conforme a recorrência.
Então, o termo geral seria:
Para :
Os coeficientes também seguem uma relação similar, mas com um fator adicional devido à condição inicial diferente.
Então, o termo geral seria:

Resposta

As duas soluções em série são:
O wronskiano no ponto é:
E os termos gerais das soluções são:

Exercícios relacionados

Dê a relação que existe entre e , se e .
Calcule .
Mostre que se é derivável em e 0 , então o coeficiente angular da reta normal ao gráfico de em é . A reta passando pelo ponto perpendicular à reta tangente ao gráfico de em é chamada de reta normal ao gráfico de em .
Explique brevemente o significado das equações abaixo e responda aos questionamentos.
(b) Se e , podemos afirmar que ?