Mostre que se
é derivável em
e
0 , então o coeficiente angular da reta normal ao gráfico de
em
é
. A reta passando pelo ponto
perpendicular à reta tangente ao gráfico de
em
é chamada de reta normal ao gráfico de
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que, se a função
é diferenciável em
e
, então o coeficiente angular da reta normal ao gráfico de
no ponto
é
. Vamos usar conceitos de derivada e geometria das retas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada
nos dá a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Então, a reta tangente tem a equação:
Aqui,
é a inclinação da reta tangente.
Passo 3
Agora, a reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabemos que, se duas retas são perpendiculares, o coeficiente angular de uma é o negativo do inverso do coeficiente angular da outra. Ou seja, se a reta tangente tem inclinação
, a reta normal terá inclinação
.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso, como a inclinação da reta tangente é
, a inclinação da reta normal será:
Então, o coeficiente angular da reta normal ao gráfico de
em
é exatamente
.
Resposta
O coeficiente angular da reta normal ao gráfico de
em
é
.