Mostre que se f é derivável em a e f'(a) ≠ 0 , então o coeficiente angular da reta normal ao gráfico de f em (a, f(a)) é -1/f'(a). A reta passando pelo ponto (a, f(a)) perpendicular à reta tangente ao gráfico de f em (a, f(a)) é chamada de reta normal ao gráfico de f em (a, f(a)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que, se a função é diferenciável em e , então o coeficiente angular da reta normal ao gráfico de no ponto é . Vamos usar conceitos de derivada e geometria das retas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada nos dá a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Então, a reta tangente tem a equação:
Aqui, é a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Agora, a reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabemos que, se duas retas são perpendiculares, o coeficiente angular de uma é o negativo do inverso do coeficiente angular da outra. Ou seja, se a reta tangente tem inclinação , a reta normal terá inclinação .

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, como a inclinação da reta tangente é , a inclinação da reta normal será:
Então, o coeficiente angular da reta normal ao gráfico de em é exatamente .

Resposta

O coeficiente angular da reta normal ao gráfico de em é .

Exercícios relacionados