Encontre duas soluções em série, e , para a equação em torno de . Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano . Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial em torno de . A matéria que vamos usar aqui é a Solução de Equações Diferenciais por Séries de Potências. Para isso, vamos precisar escrever nossas soluções como séries de potências e encontrar os coeficientes que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Isso significa que é uma soma infinita de termos com potências de .

Passo 3

Derivamos para obter e :
Essas derivadas serão usadas na equação diferencial original.

Passo 4

Substituímos , e na equação :
Agora, ajustamos os índices para que todas as somas tenham a mesma potência de .

Passo 5

Mudamos o índice da primeira soma para :
A segunda soma fica:
E a terceira soma:
Para que todas as somas tenham , ajustamos a segunda soma.

Passo 6

Reescrevemos todas as somas com :
Agora, combinamos as somas.

Passo 7

Igualamos os coeficientes de cada potência de a zero:
Para :
Para :
Simplificando:

Passo 8

Encontramos a relação de recorrência:
Isso nos permite calcular os coeficientes de forma iterativa.

Passo 9

Escolhemos duas soluções diferentes baseadas nos valores iniciais e :
  • Para , deixamos e
  • Para , deixamos e

Passo 10

Calculamos os primeiros quatro termos de cada série usando a relação de recorr��ncia.
Para :

  • Então,
Para :

  • Então,

Passo 11

Calculamos o wronskiano em :
Primeiro, derivamos e :
Agora, substituímos em em :

Resposta

As duas soluções em série são:
O wronskiano em é . O termo geral para cada solução pode ser encontrado usando a relação de recorrência .

Exercícios relacionados

Use os limites fundamentais , com , e para calcular os limites abaixo.
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Encontre duas soluções em série, e , para a equação em torno de . Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano . Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(b)
7
Use a continuidade para calcular o limite.
(a)
Encontre duas soluções em série, e , para a equação em torno de . Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano . Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(e)