Encontre duas soluções em série,
e
, para a equação em torno de
. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano
. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial
em torno de
. A matéria que vamos usar aqui é a Solução de Equações Diferenciais por Séries de Potências. Para isso, vamos precisar escrever nossas soluções como séries de potências e encontrar os coeficientes que satisfazem a equação.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Isso significa que
é uma soma infinita de termos com potências de
.
Passo 3
Derivamos
para obter
e
:
Essas derivadas serão usadas na equação diferencial original.
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação
:
Agora, ajustamos os índices para que todas as somas tenham a mesma potência de
.
Passo 5
Mudamos o índice da primeira soma para
:
A segunda soma fica:
E a terceira soma:
Para que todas as somas tenham
, ajustamos a segunda soma.
Passo 6
Reescrevemos todas as somas com
:
Agora, combinamos as somas.
Passo 7
Igualamos os coeficientes de cada potência de
a zero:
Para :
Para
Para
:
Simplificando:
Passo 8
Encontramos a relação de recorrência:
Isso nos permite calcular os coeficientes
de forma iterativa.
Passo 9
Escolhemos duas soluções diferentes baseadas nos valores iniciais
e
:
- Para
, deixamos e - Para
, deixamos e
Passo 10
Calculamos os primeiros quatro termos de cada série usando a relação de recorr��ncia.
Para
:
-
-
-
-
-
Então,
Para
:
-
-
-
-
-
Então,
Passo 11
Calculamos o wronskiano
em
:
Primeiro, derivamos
e
:
Agora, substituímos em
em
:
Resposta
As duas soluções em série são:
O wronskiano em
é
. O termo geral para cada solução pode ser encontrado usando a relação de recorrência
.
Exercícios relacionados
Use os limites fundamentais
, com
, e
para calcular os limites abaixo.
©
©
Encontre duas soluções em série,
e
, para a equação em torno de
. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano
. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(b)
(b)
7
Use a continuidade para calcular o limite.
(a)
Use a continuidade para calcular o limite.
(a)
Encontre duas soluções em série,
e
, para a equação em torno de
. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano
. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(e)
(e)