Use os limites fundamentais lim x 0 a^x-1x=ln a, com a>0, e lim x infty(1+1x)^x=e para calcular os limites abaixo.
© lim x infty(7 x+37 x+4)^x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular:
lim x infty(7x + 37x + 4)^x + 1
O conteúdo aqui envolve limites, especialmente limites no infinito, e usamos algumas propriedades de exponenciais e logaritmos para facilitar. Vamos precisar lembrar de como transformar expressões pra facilitar o cálculo de limites envolvendo potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite. Olha só:
7x + 37x + 4
Podemos dividir numerador e denominador por 7 + 3x7 + 4x :
77 = 1
À medida que vai para o infinito, e vão se aproximando de zero. Então, a fração fica bem próxima de:
Mas precisamos de uma expressão mais precisa para calcular o limite da potência.

Passo 3

Vamos reescrever a fração de uma forma que fique parecida com 7x + 37x + 4 = 1 - 17x + 4 , que é útil para aplicar limites envolvendo exponenciais. Subtraímos 1 e ajustamos:
(1 - 17x + 4)^x + 1
Agora nossa expressão dentro do limite fica:

Passo 4

Aqui entra uma técnica comum: usar logaritmos para transformar a potência. Sabemos que:
limx to infty (1 + ax)^x = e^a
Vamos aplicar isso. Primeiro, tiramos o logaritmo natural:
ln((1 - 17x + 4)^x + 1) = (x + 1) cdot ln(1 - 17x + 4)

Passo 5

Agora, vamos aproximar o logaritmo para valores pequenos. Quando ln(1 - 17x + 4) approx -17x + 4 é próximo de zero, (x + 1) cdot (-17x + 4) = -x + 17x + 4 . No nosso caso, , que é bem pequeno quando é grande. Então:
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite desse termo:
limx to infty -x + 17x + 4
Dividindo numerador e denominador por limx to infty -1 + 1x7 + 4x = -1 + 07 + 0 = -17 :

Passo 7

Voltando ao logaritmo, temos que o limite do logaritmo é lim x infty(7x + 37x + 4)^x + 1 = e^-17 . Então, para encontrar o limite original, usamos a relação inversa do logaritmo:

Resposta

lim x infty(7x + 37x + 4)^x + 1 = e^-17

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