Use os limites fundamentais , com , e para calcular os limites abaixo.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular:
O conteúdo aqui envolve limites, especialmente limites no infinito, e usamos algumas propriedades de exponenciais e logaritmos para facilitar. Vamos precisar lembrar de como transformar expressões pra facilitar o cálculo de limites envolvendo potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite. Olha só:
Podemos dividir numerador e denominador por :
À medida que vai para o infinito, e vão se aproximando de zero. Então, a fração fica bem próxima de:
Mas precisamos de uma expressão mais precisa para calcular o limite da potência.

Passo 3

Vamos reescrever a fração de uma forma que fique parecida com , que é útil para aplicar limites envolvendo exponenciais. Subtraímos 1 e ajustamos:
Agora nossa expressão dentro do limite fica:

Passo 4

Aqui entra uma técnica comum: usar logaritmos para transformar a potência. Sabemos que:
Vamos aplicar isso. Primeiro, tiramos o logaritmo natural:

Passo 5

Agora, vamos aproximar o logaritmo para valores pequenos. Quando é próximo de zero, . No nosso caso, , que é bem pequeno quando é grande. Então:
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite desse termo:
Dividindo numerador e denominador por :

Passo 7

Voltando ao logaritmo, temos que o limite do logaritmo é . Então, para encontrar o limite original, usamos a relação inversa do logaritmo:

Resposta

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Encontre duas soluções em série, e , para a equação em torno de . Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano . Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(b)
Use o primeiro limite fundamental para calcular os limites abaixo.
(f)
Encontre duas soluções em série, e , para a equação em torno de . Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano . Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(d)
7
Use a continuidade para calcular o limite.
(a)