Use os limites fundamentais
, com
, e
para calcular os limites abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular:
O conteúdo aqui envolve limites, especialmente limites no infinito, e usamos algumas propriedades de exponenciais e logaritmos para facilitar. Vamos precisar lembrar de como transformar expressões pra facilitar o cálculo de limites envolvendo potências.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite. Olha só:
Podemos dividir numerador e denominador por
:
À medida que
vai para o infinito,
e
vão se aproximando de zero. Então, a fração fica bem próxima de:
Mas precisamos de uma expressão mais precisa para calcular o limite da potência.
Passo 3
Vamos reescrever a fração de uma forma que fique parecida com
, que é útil para aplicar limites envolvendo exponenciais. Subtraímos 1 e ajustamos:
Agora nossa expressão dentro do limite fica:
Passo 4
Aqui entra uma técnica comum: usar logaritmos para transformar a potência. Sabemos que:
Vamos aplicar isso. Primeiro, tiramos o logaritmo natural:
Passo 5
Agora, vamos aproximar o logaritmo para valores pequenos. Quando
é próximo de zero,
. No nosso caso,
, que é bem pequeno quando
é grande. Então:
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite desse termo:
Dividindo numerador e denominador por
:
Passo 7
Voltando ao logaritmo, temos que o limite do logaritmo é
. Então, para encontrar o limite original, usamos a relação inversa do logaritmo:
Resposta
Exercícios relacionados
Encontre duas soluções em série,
e
, para a equação em torno de
. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano
. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(b)
(b)
Use o primeiro limite fundamental
para calcular os limites abaixo.
(f)
(f)
Encontre duas soluções em série,
e
, para a equação em torno de
. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano
. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(d)
(d)
7
Use a continuidade para calcular o limite.
(a)
Use a continuidade para calcular o limite.
(a)