Encontre duas soluções em série, y1 e y2, para a equação em torno de x_0. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano W(y1, y2)(x0). Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(e) (x-1) y'' + y' = 0, x0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos duas soluções em série para a equação diferencial , em torno de . Vamos precisar trabalhar com séries de potências, calcular os primeiros quatro termos de cada solução, e depois encontrar o wronskiano dessas soluções no ponto . Se der, também vamos tentar descobrir o termo geral de cada solução.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y pode ser escrita como uma série de potências em torno de x = 0:
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas necessárias dessa série:
Essas expressões vão nos ajudar a substituir na equação diferencial.

Passo 4

Vamos substituir y, , e na equação :
Vamos distribuir o :
Agora, ajustamos os índices para que todas as somas comecem do mesmo termo de x.

Passo 5

Vamos igualar os coeficientes de cada potência de x a zero para obter relações entre os coeficientes . Fazendo isso, encontramos uma relação de recorrência que nos permite calcular cada em termos de ou . Após resolver essa relação, obtemos os primeiros quatro termos de cada série.

Passo 6

Após calcular, encontramos as duas soluções em série:
Os coeficientes e são constantes que determinam cada solução.

Passo 7

Agora, vamos calcular o wronskiano no ponto . O wronskiano é dado por:
Substituindo as soluções e suas derivadas no ponto x = 0, calculamos o valor específico.

Passo 8

Finalmente, se analisarmos a relação dos coeficientes, conseguimos identificar o termo geral de cada série. Isso nos permite expressar as soluções de forma mais compacta, generalizando para qualquer termo da sequência.

Resposta

As duas soluções em série encontradas são:
O wronskiano no ponto é:
E os termos gerais das soluções são dados por:
Essas séries representam as soluções completas da equação diferencial proposta.

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