Encontre duas soluções em série,
e
, para a equação em torno de
. Encontre os primeiros quatro termos de cada uma das soluções. Calcule o wronskiano
. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos duas soluções em série para a equação diferencial
, em torno de
. Vamos precisar trabalhar com séries de potências, calcular os primeiros quatro termos de cada solução, e depois encontrar o wronskiano dessas soluções no ponto
. Se der, também vamos tentar descobrir o termo geral de cada solução.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias dessa série:
Essas expressões vão nos ajudar a substituir na equação diferencial.
Passo 4
Vamos substituir
,
, e
na equação
:
Vamos distribuir o
:
Agora, ajustamos os índices para que todas as somas comecem do mesmo termo de
.
Passo 5
Vamos igualar os coeficientes de cada potência de
a zero para obter relações entre os coeficientes
. Fazendo isso, encontramos uma relação de recorrência que nos permite calcular cada
em termos de
ou
. Após resolver essa relação, obtemos os primeiros quatro termos de cada série.
Passo 6
Após calcular, encontramos as duas soluções em série:
Os coeficientes
e
são constantes que determinam cada solução.
Passo 7
Agora, vamos calcular o wronskiano
no ponto
. O wronskiano é dado por:
Substituindo as soluções e suas derivadas no ponto
, calculamos o valor específico.
Passo 8
Finalmente, se analisarmos a relação dos coeficientes, conseguimos identificar o termo geral de cada série. Isso nos permite expressar as soluções de forma mais compacta, generalizando para qualquer termo da sequência.
Resposta
As duas soluções em série encontradas são:
O wronskiano no ponto
é:
E os termos gerais das soluções são dados por:
Essas séries representam as soluções completas da equação diferencial proposta.