Mostre que cada função é uma solução geral da edo dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função
é uma solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) dada:
Vamos precisar calcular as derivadas de
e substituir na EDO para verificar se a equação é satisfeita.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
:
Derivando termo a termo:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
:
Derivando
:
Derivando termo a termo:
Passo 4
Com as derivadas calculadas, vamos substituir
,
e
na EDO:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Os termos
se cancelam, assim como
e
:
Resposta
Como a substituição resultou em uma identidade verdadeira (
), isso confirma que
é de fato uma solução geral da equação diferencial dada.
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Use o Teste da Integral para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem:
.
Use, se possível, o Teste da Razão para decidir se as séries convergem ou divergem:
.
Mostre que cada função é uma solução geral da edo dada.
Encontre edo cuja solução geral é dada por