Mostre que cada função é uma solução geral da edo dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função
é uma solução geral da equação diferencial ordinária (edo):
Aqui, vamos utilizar conceitos de cálculo, como derivadas, para verificar se, ao substituir
,
e
na equação, ela se iguala a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Derivando cada termo:
Aqui, usamos a regra da derivada para
, que é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
, que é
.
Derivando
:
Novamente, aplicamos a regra da derivada para cada termo exponencial.
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial dada:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão passo a passo:
- Distribuir os coeficientes:
- Agrupar termos semelhantes:
- Termos com
:
- Termos com
:
- Termos com
:
- Somando todos os termos:
Resposta
Prontinho! Ao substituir
,
e
na equação diferencial, verificamos que a expressão se iguala a zero. Portanto, a função
é realmente uma solução geral da ed. dada.
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Verifique cada função é uma solução da edo dada.
Determine a ordem das seguintes edo
Encontre edo cuja solução geral é dada por
Encontre edo cuja solução geral é dada por