Mostre que cada função é uma solução geral da edo dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função é uma solução geral da equação diferencial ordinária (edo):
Aqui, vamos utilizar conceitos de cálculo, como derivadas, para verificar se, ao substituir , e na equação, ela se iguala a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de em relação a , ou seja, .
Derivando cada termo:
Aqui, usamos a regra da derivada para , que é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de , que é .
Derivando :
Novamente, aplicamos a regra da derivada para cada termo exponencial.

Passo 4

Vamos substituir , e na equação diferencial dada:
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão passo a passo:
  1. Distribuir os coeficientes:
  1. Agrupar termos semelhantes:
  • Termos com :
  • Termos com :
  • Termos com :
  1. Somando todos os termos:

Resposta

Prontinho! Ao substituir , e na equação diferencial, verificamos que a expressão se iguala a zero. Portanto, a função é realmente uma solução geral da ed. dada.

Exercícios relacionados

Verifique cada função é uma solução da edo dada.

Determine a ordem das seguintes edo
Encontre edo cuja solução geral é dada por
Encontre edo cuja solução geral é dada por