Encontre edo cuja solução geral é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) cuja solução geral seja
. Isso envolve assuntos de equações diferenciais de segunda ordem e suas soluções gerais. Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar soluções gerais com a própria EDO através da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, a solução geral pode ser escrita em termos de exponenciais. Essas exponenciais vêm das raízes da chamada equação característica.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo
na EDO e resolvendo para
. No nosso caso, já sabemos as soluções gerais, que são
e
. Isso significa que as raízes da equação característica são
e
.
Passo 4
Agora que temos as raízes da equação característica, podemos construir a equação característica completa. Ela é dada por
. Substituindo as raízes:
\
Passo 5
Multiplicando os termos, temos:
Passo 6
Essa é a equação característica associada à nossa EDO. Para encontrar a EDO, lembramos que a equação característica vem da equação diferencial
. Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação a
.
Resposta
A EDO cuja solução geral é
é:
Exercícios relacionados
Mostre que cada função é uma solução geral da edo dada.
Verifique cada função é uma solução da edo dada.
Desenhe o campo de direções associado a eda dada.
Verifique cada função é uma solução da edo dada.