Encontre edo cuja solução geral é dada por

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) cuja solução geral seja . Isso envolve assuntos de equações diferenciais de segunda ordem e suas soluções gerais. Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar soluções gerais com a própria EDO através da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, a solução geral pode ser escrita em termos de exponenciais. Essas exponenciais vêm das raízes da chamada equação característica.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo na EDO e resolvendo para . No nosso caso, já sabemos as soluções gerais, que são e . Isso significa que as raízes da equação característica são e .

Passo 4

Agora que temos as raízes da equação característica, podemos construir a equação característica completa. Ela é dada por . Substituindo as raízes:
\

Passo 5

Multiplicando os termos, temos:

Passo 6

Essa é a equação característica associada à nossa EDO. Para encontrar a EDO, lembramos que a equação característica vem da equação diferencial . Aqui, representa a segunda derivada de em relação a .

Resposta

A EDO cuja solução geral é é:

Exercícios relacionados

Mostre que cada função é uma solução geral da edo dada.

Verifique cada função é uma solução da edo dada.

Desenhe o campo de direções associado a eda dada.
Verifique cada função é uma solução da edo dada.