Mostre que cada função é uma solução geral da edo dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a função é uma solução geral da equação diferencial ordinária (EDO):
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de até a terceira ordem e substituir na EDO para ver se a igualdade se confirma. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de :
Usando a regra do produto (derivada de é ):
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada :
Derivando :
Simplificando:

Passo 4

Vamos para a terceira derivada :
Derivando :
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos , , e , vamos substituir na EDO:
Substituindo cada termo:
ãã
Após simplificar todas as expressões e coletar os termos semelhantes, todas as constantes , , e os termos em vão se cancelar, restando:
Isso confirma que a função dada é de fato uma solução da EDO.

Resposta

A função satisfaz a equação diferencial , ou seja, é uma solução geral da EDO.

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Verifique cada função é uma solução da edo dada.

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Encontre edo cuja solução geral é dada por
Desenhe o campo de direções associado a eda dada.