Mostre que cada função é uma solução geral da edo dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a função
é uma solução geral da equação diferencial ordinária (EDO):
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de
até a terceira ordem e substituir na EDO para ver se a igualdade se confirma. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
:
Usando a regra do produto (derivada de
é
):
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
:
Derivando
:
Simplificando:
Passo 4
Vamos para a terceira derivada
:
Derivando
:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos
,
,
e
, vamos substituir na EDO:
Substituindo cada termo:
Após simplificar todas as expressões e coletar os termos semelhantes, todas as constantes
,
,
e os termos em
vão se cancelar, restando:
Isso confirma que a função dada é de fato uma solução da EDO.
Resposta
A função
satisfaz a equação diferencial
, ou seja, é uma solução geral da EDO.
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Verifique cada função é uma solução da edo dada.
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Encontre edo cuja solução geral é dada por
Desenhe o campo de direções associado a eda dada.