Encontre a EDO homogênea de segunda ordem para a qual as funções abaixo são soluções. Encontre também o Wronskiano. ;
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea de segunda ordem para a qual as funções e são soluções. Além disso, precisamos calcular o Wronskiano dessas duas funções. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de EDOs de segunda ordem, soluções lineares e o Wronskiano, que ajuda a verificar a independência das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma EDO homogênea de segunda ordem. É uma equação da forma:
Onde é a segunda derivada de , é a primeira derivada, e e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Sabemos que e são soluções dessa EDO. Vamos usar essas funções para substituir na equação e encontrar e .
Primeiro, para :
Substituindo na EDO:
Como nunca é zero, temos:
Passo 4
Agora, para :
Substituindo na EDO:
Isso nos dá duas equações:
Passo 5
Resolvendo as equações:
Da Equação 2:
Substituindo na Equação 1:
Passo 6
Agora que temos e , a EDO é:
Passo 7
Vamos calcular o Wronskiano das soluções e . O Wronskiano de duas funções e é dado por: