Encontre a EDO homogênea de segunda ordem para a qual as funções abaixo são soluções. Encontre também o Wronskiano. e^x, x e^x;

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea de segunda ordem para a qual as funções e são soluções. Além disso, precisamos calcular o Wronskiano dessas duas funções. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de EDOs de segunda ordem, soluções lineares e o Wronskiano, que ajuda a verificar a independência das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma EDO homogênea de segunda ordem. É uma equação da forma:
y'' + a y' + b y = 0
Onde é a segunda derivada de , é a primeira derivada, e e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Sabemos que y' = e^x e y'' = e^x são soluções dessa EDO. Vamos usar essas funções para substituir na equação e encontrar e^x + a e^x + b e^x = 0 e (1 + a + b) e^x = 0 .
Primeiro, para 1 + a + b = 0 (Equação 1) :
Substituindo na EDO:
Como nunca é zero, temos:
çã

Passo 4

Agora, para y' = e^x + x e^x :
y'' = e^x + e^x + x e^x = 2 e^x + x e^x
2 e^x + x e^x + a (e^x + x e^x) + b x e^x = 0
Substituindo na EDO:
(2 + a) e^x + (1 + a + b) x e^x = 0
2 + a = 0 (Equação 2)
Isso nos dá duas equações:
1 + a + b = 0 (Equação 1, novamente) çã
çã

Passo 5

Resolvendo as equações:
Da Equação 2:
a = -2
Substituindo 1 - 2 + b = 0 na Equação 1:
b = 1

Passo 6

Agora que temos y'' - 2 y' + y = 0 e , a EDO é:

Passo 7

Vamos calcular o Wronskiano das soluções W = y1 & y2 y1' & y2' e y1' = e^x . O Wronskiano y2' = e^x + x e^x de duas funções W = e^x & x e^x e^x & e^x + x e^x e W = e^x (e^x + x e^x) - x e^x cdot e^x é dado por:
W = e^2x + x e^2x - x e^2x
Para W = e^2x e :
Então:

Resposta

A EDO homogênea de segunda ordem é:
y'' - 2 y' + y = 0
E o Wronskiano das soluções W = e^2x e é:

Exercícios relacionados