Encontre a EDO homogênea de segunda ordem para a qual as funções abaixo são soluções. Encontre também o Wronskiano. e^x cos x, e^x sen x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea de segunda ordem para a qual as funções e são soluções. Além disso, precisamos descobrir o Wronskiano dessas funções. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e o Wronskiano, que ajuda a verificar a linearidade das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para uma EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, a solução geral é baseada nas raízes da equação característica. Dadas as soluções e , elas sugerem que as raízes da equação característica são complexas.

Passo 3

As soluções da forma e indicam que as raízes da equação característica são . No nosso caso, comparando com e , temos e .

Passo 4

A equação característica geral para raízes r^2 - 2(1)r + (1^2 + 1^2) = r^2 - 2r + 2 = 0 é . Substituindo e , a equação fica:

Passo 5

Agora, transformamos a equação característica em uma EDO. A relação entre a equação característica e a EDO é que os coeficientes da equação característica correspondem aos coeficientes da EDO. Portanto, a EDO associada é:
y'' - 2y' + 2y = 0

Passo 6

Agora, vamos calcular o Wronskiano das soluções W(y1, y2) = y1 y2' - y2 y1' e y1' = e^x cos x - e^x sen x . O Wronskiano é dado por:
y2' = e^x sen x + e^x cos x
Primeiro, encontramos as derivadas:
Substituindo na fórmula do Wronskiano:

Resposta

A EDO homogênea de segunda ordem é e o Wronskiano das soluções é .

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