Encontre a EDO homogênea de segunda ordem para a qual as funções abaixo são soluções. Encontre também o Wronskiano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea de segunda ordem para a qual as funções
e são soluções. Além disso, precisamos descobrir o Wronskiano dessas funções. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e o Wronskiano, que ajuda a verificar a linearidade das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para uma EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, a solução geral é baseada nas raízes da equação característica. Dadas as soluções
e , elas sugerem que as raízes da equação característica são complexas.
Passo 3
As soluções da forma
e indicam que as raízes da equação característica são
. No nosso caso, comparando com
e
, temos
e
.
Passo 4
A equação característica geral para raízes
é
. Substituindo
e
, a equação fica:
Passo 5
Agora, transformamos a equação característica em uma EDO. A relação entre a equação característica e a EDO é que os coeficientes da equação característica correspondem aos coeficientes da EDO. Portanto, a EDO associada é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o Wronskiano das soluções
e
. O Wronskiano é dado por:
Primeiro, encontramos as derivadas:
Substituindo na fórmula do Wronskiano:
Resposta
A EDO homogênea de segunda ordem é
e o Wronskiano das soluções é
.