Por meio de uma translação dos eixos coordenados, reescreva as equações das cônicas abaixo no sistema de coordenadas
, em que
é o centro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente fazer uma translação nos eixos coordenados e reescrever a equação de uma cônica no novo sistema de coordenadas
, onde
é o centro da cônica. Então, vamos trabalhar com cônicas e entender como mudar os eixos para facilitar a equação.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o tipo de cônica que estamos lidando. Vamos supor que a equação inicial seja uma parábola, por exemplo:
Nosso objetivo é mover o sistema de coordenadas de forma que o novo sistema
tenha seu centro no vértice da parábola.
Passo 3
Para isso, vamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola original. A fórmula para encontrar o vértice
de uma parábola da forma
é:
Passo 4
Com as coordenadas do vértice, vamos fazer a translação dos eixos. Isso significa que vamos substituir as coordenadas
por
. Ou seja:
Passo 5
Agora, substituímos essas expressões na equação original da parábola:
Vamos expandir e simplificar essa equação para encontrar a nova equação no sistema
.
Passo 6
Expansão:
Distribuindo o
:
Passo 7
Subtraindo
de ambos os lados para isolar
:
Mas sabemos que
, então substituindo:
Simplificando:
Passo 8
Simplificando cada termo:
-
-
-
- Somando os termos constantes:
Portanto, a equação final fica:
Resposta
Após a translação, a equação da parábola no novo sistema de coordenadas
é: