Por meio de uma translação dos eixos coordenados, reescreva as equações das cônicas abaixo no sistema de coordenadas u O v, em que O é o centro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente fazer uma translação nos eixos coordenados e reescrever a equação de uma cônica no novo sistema de coordenadas uOv, onde O é o centro da cônica. Então, vamos trabalhar com cônicas e entender como mudar os eixos para facilitar a equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o tipo de cônica que estamos lidando. Vamos supor que a equação inicial seja uma parábola, por exemplo:
y = ax^2 + bx + c
Nosso objetivo é mover o sistema de coordenadas de forma que o novo sistema (u, v) tenha seu centro no vértice da parábola.

Passo 3

Para isso, vamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola original. A fórmula para encontrar o vértice (xv, yv) de uma parábola da forma y = ax^2 + bx + c é:
xv = -b2a
yv = c - b^24a

Passo 4

Com as coordenadas do vértice, vamos fazer a translação dos eixos. Isso significa que vamos substituir as coordenadas (x, y) por (u + xv, v + yv). Ou seja:
x = u + xv
y = v + yv

Passo 5

Agora, substituímos essas expressões na equação original da parábola:
v + yv = a(u + xv)^2 + b(u + xv) + c
Vamos expandir e simplificar essa equação para encontrar a nova equação no sistema (u, v).

Passo 6

Expansão:
v + yv = a(u^2 + 2xv u + xv^2) + b u + b xv + c
Distribuindo o a:
v + yv = a u^2 + 2a xv u + a xv^2 + b u + b xv + c

Passo 7

Subtraindo yv de ambos os lados para isolar v:
v = a u^2 + (2a xv + b) u + (a xv^2 + b xv + c - yv)
Mas sabemos que yv = c - b^24a, então substituindo:
v = a u^2 + (2a xv + b) u + (a xv^2 + b xv + c - (c - b^24a))
Simplificando:
v = a u^2 + (2a (-b2a) + b) u + a (-b2a)^2 + b (-b2a) + b^24a

Passo 8

Simplificando cada termo:
  1. 2a (-b2a) + b = -b + b = 0
  2. a (b^24a^2) = b^24a
  3. b (-b2a) = -b^22a
  4. Somando os termos constantes: b^24a - b^22a + b^24a = 0
Portanto, a equação final fica:
v = a u^2

Resposta

Após a translação, a equação da parábola no novo sistema de coordenadas uOv é:
v = a u^2

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