(a)Encontre a energia do estado fundamental( n=1 ) e dos dois primeiros estados excitados de um próton numa caixa unidimensional de comprimento L=10^-15 m=1 fm.(Estas são as ordens de magnitude de energias nucleares.) Faça um diagrama de níveis de energia para este sistema, e calcule o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida quando o próton faz uma transição de (d) n=3 para n=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as energias dos estados $ n = 1 $ (estado fundamental) e dos dois primeiros estados excitados de um próton dentro de uma caixa unidimensional com comprimento $ L = 10^{-15} $ metros, que é a ordem de grandeza das energias nucleares. Depois, vamos fazer um diagrama de níveis de energia e calcular o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida quando o próton faz a transição de $ n = 3 $ para $ n = 1 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do modelo da caixa de potencial unidimensional na mecânica quântica. Nesse modelo, uma partícula (no caso, um próton) está confinada entre duas paredes infinitamente altas, e só pode se mover dentro desse espaço limitado. As energias permitidas para o próton são quantizadas, ou seja, apenas certos valores de energia são possíveis.

Passo 3

A energia dos níveis quantizados em uma caixa unidimensional é dada pela fórmula:
En = n^2 h^28 m L^2
Onde:
  • $ E_n $ é a energia do nível $ n $
  • $ n $ é o número quântico (1, 2, 3, …)
  • $ h $ é a constante de Planck ($ 6,626 \times 10^{-34} $ J·s)
  • $ m $ é a massa do próton ($ 1,673 \times 10^{-27} $ kg)
  • $ L $ é o comprimento da caixa

Passo 4

Vamos calcular as energias para $ n = 1 $, $ n = 2 $ e $ n = 3 $ usando $ L = 1 \times 10^{-15} $ m.
Primeiro, calculamos $ L^2 $:
n = 1

Passo 5

Agora, vamos calcular $ E_1 $:
E1
Fazendo as contas:
E1 = 1^2 times (6,626 times 10^-34)^28 times (1,673 times 10^-27) times (1 times 10^-30)

Passo 6

Vamos calcular $ E_2 $ e $ E_3 $ usando a mesma fórmula:
E2
Então,
E3
En = n^2 times E1

Passo 7

Agora, vamos fazer um diagrama de níveis de energia. Imagine três linhas horizontais representando os níveis de energia:
  • $ n = 1 $: $ 3,28 \times 10^{-11} , J $
  • $ n = 2 $: $ 1,31 \times 10^{-10} , J $
  • $ n = 3 $: $ 2,95 \times 10^{-10} , J $
Esses níveis estão espaçados de acordo com o quadrado dos números quânticos.

Passo 8

Para calcular o comprimento de onda ($ \lambda $) da radiação emitida na transição de $ n = 3 $ para $ n = 1 $, precisamos da diferença de energia entre esses estados:
lambda

Passo 9

A relação entre a energia da radiação e o comprimento de onda é dada pela fórmula:
E = h clambda
Onde:
  • $ E $ é a energia da radiação
  • $ h $ é a constante de Planck
  • $ c $ é a velocidade da luz ($ 3 \times 10^8 $ m/s)
  • $ \lambda $ é o comprimento de onda
Rearranjando para encontrar $ \lambda $:
E
Substituindo os valores:
h

Resposta

O comprimento de onda da radiação emitida na transição de $ n = 3 $ para $ n = 1 $ é aproximadamente $ 7,59 \times 10^{-16} $ metros.

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