(a)Encontre a energia do estado fundamental(
) e dos dois primeiros estados excitados de um próton numa caixa unidimensional de comprimento
.(Estas são as ordens de magnitude de energias nucleares.) Faça um diagrama de níveis de energia para este sistema, e calcule o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida quando o próton faz uma transição de (d)
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as energias dos estados $ n = 1 $ (estado fundamental) e dos dois primeiros estados excitados de um próton dentro de uma caixa unidimensional com comprimento $ L = 10^{-15} $ metros, que é a ordem de grandeza das energias nucleares. Depois, vamos fazer um diagrama de níveis de energia e calcular o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida quando o próton faz a transição de $ n = 3 $ para $ n = 1 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do modelo da caixa de potencial unidimensional na mecânica quântica. Nesse modelo, uma partícula (no caso, um próton) está confinada entre duas paredes infinitamente altas, e só pode se mover dentro desse espaço limitado. As energias permitidas para o próton são quantizadas, ou seja, apenas certos valores de energia são possíveis.
Passo 3
A energia dos níveis quantizados em uma caixa unidimensional é dada pela fórmula:
Onde:
- $ E_n $ é a energia do nível $ n $
- $ n $ é o número quântico (1, 2, 3, …)
- $ h $ é a constante de Planck ($ 6,626 \times 10^{-34} $ J·s)
- $ m $ é a massa do próton ($ 1,673 \times 10^{-27} $ kg)
- $ L $ é o comprimento da caixa
Passo 4
Vamos calcular as energias para $ n = 1 $, $ n = 2 $ e $ n = 3 $ usando $ L = 1 \times 10^{-15} $ m.
Primeiro, calculamos $ L^2 $:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ E_1 $:
Fazendo as contas:
Passo 6
Vamos calcular $ E_2 $ e $ E_3 $ usando a mesma fórmula:
Então,
Passo 7
Agora, vamos fazer um diagrama de níveis de energia. Imagine três linhas horizontais representando os níveis de energia:
- $ n = 1 $: $ 3,28 \times 10^{-11} , J $
- $ n = 2 $: $ 1,31 \times 10^{-10} , J $
- $ n = 3 $: $ 2,95 \times 10^{-10} , J $
Esses níveis estão espaçados de acordo com o quadrado dos números quânticos.
Passo 8
Para calcular o comprimento de onda ($ \lambda $) da radiação emitida na transição de $ n = 3 $ para $ n = 1 $, precisamos da diferença de energia entre esses estados:
Passo 9
A relação entre a energia da radiação e o comprimento de onda é dada pela fórmula:
Onde:
- $ E $ é a energia da radiação
- $ h $ é a constante de Planck
- $ c $ é a velocidade da luz ($ 3 \times 10^8 $ m/s)
- $ \lambda $ é o comprimento de onda
Rearranjando para encontrar $ \lambda $:
Substituindo os valores:
Resposta
O comprimento de onda da radiação emitida na transição de $ n = 3 $ para $ n = 1 $ é aproximadamente $ 7,59 \times 10^{-16} $ metros.