(a)Encontre a energia do estado fundamental (n=1) e os dois primeiros estados excitados do próton numa caixa unidimensional de 0,2 nm (em torno do diâmetro de uma molécula de H2 ). Calcule o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida quando o próton faz uma transição de (b) n=2 para n=1,

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um próton numa caixa unidimensional com comprimento de 0,2 nm, que é tipo o diâmetro de uma molécula de H2. Queremos encontrar a energia do estado fundamental (n=1) e dos dois primeiros estados excitados (n=2 e n=3). Além disso, vamos calcular o comprimento de onda da radiação emitida quando o próton passa do estado n=2 para n=1.
Para resolver isso, vamos usar o modelo da partícula na caixa na física quântica. Esse modelo nos dá as energias permitidas para uma partícula confinada em uma dimensão, como nosso próton na caixa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a energia dos estados quantizados em uma caixa unidimensional:
En = n^2 h^28 m L^2
Onde:
  • En é a energia do estado n.
  • n é o número quântico (1, 2, 3, …).
  • h é a constante de Planck ( 6,626 times 10^-34 , J,s).
  • m é a massa da partícula (no caso, o próton).
  • L é o comprimento da caixa.

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula. Primeiro, precisamos das unidades corretas:
  • Comprimento da caixa, L = 0,2 , nm = 0,2 times 10^-9 , m.
  • Massa do próton, mp = 1,673 times 10^-27 , kg.
  • Constante de Planck, h = 6,626 times 10^-34 , J,s.
Agora, calculamos as energias para n=1, n=2 e n=3.
Para n=1:
E1 = 1^2 times (6,626 times 10^-34)^28 times 1,673 times 10^-27 times (0,2 times 10^-9)^2
Fazendo as contas, teremos a energia do estado fundamental.

Passo 4

Vamos calcular as energias:
Para n=1:
E1 = (6,626 times 10^-34)^28 times 1,673 times 10^-27 times (0,2 times 10^-9)^2 approx 8,73 times 10^-20 , J
Para n=2:
E2 = 2^2 times (6,626 times 10^-34)^28 times 1,673 times 10^-27 times (0,2 times 10^-9)^2 = 4 times E1 approx 3,49 times 10^-19 , J
Para n=3:
E3 = 3^2 times (6,626 times 10^-34)^28 times 1,673 times 10^-27 times (0,2 times 10^-9)^2 = 9 times E1 approx 7,86 times 10^-19 , J

Passo 5

Agora, vamos calcular o comprimento de onda da radiação emitida quando o próton transita de n=2 para n=1. A energia liberada nessa transição é a diferença entre as energias dos dois estados:
De
Sabemos que a energia da radiação está relacionada ao comprimento de onda pela equação:
De
Onde:
  • c é a velocidade da luz ( 3,00 times 10^8 , m/s).
  • lambda é o comprimento de onda que queremos encontrar.
Rearranjando para lambda:
lambda = h cDe
Substituindo os valores:
lambda = 6,626 times 10^-34 times 3,00 times 10^82,60 times 10^-19 approx 7,66 times 10^-7 , m , (766 , nm)

Resposta

A energia do estado fundamental (n=1) é aproximadamente 8,73 times 10^-20 , J, e os dois primeiros estados excitados (n=2 e n=3) são aproximadamente 3,49 times 10^-19 , J e 7,86 times 10^-19 , J, respectivamente. O comprimento de onda da radiação emitida na transição de n=2 para n=1 é cerca de 766 , nm.

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