(a)Encontre a energia do estado fundamental
e os dois primeiros estados excitados do próton numa caixa unidimensional de
(em torno do diâmetro de uma molécula de
). Calcule o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida quando o próton faz uma transição de (b)
para
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um próton numa caixa unidimensional com comprimento de 0,2 nm, que é tipo o diâmetro de uma molécula de
. Queremos encontrar a energia do estado fundamental
e dos dois primeiros estados excitados
e
. Além disso, vamos calcular o comprimento de onda da radiação emitida quando o próton passa do estado
para
.
Para resolver isso, vamos usar o modelo da partícula na caixa na física quântica. Esse modelo nos dá as energias permitidas para uma partícula confinada em uma dimensão, como nosso próton na caixa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a energia dos estados quantizados em uma caixa unidimensional:
Onde:
-
é a energia do estado . -
é o número quântico (1, 2, 3, …). -
é a constante de Planck ( ). -
é a massa da partícula (no caso, o próton). -
é o comprimento da caixa.
Passo 3
Vamos substituir os valores na fórmula. Primeiro, precisamos das unidades corretas:
- Comprimento da caixa,
. - Massa do próton,
. - Constante de Planck,
.
Agora, calculamos as energias para
,
e
.
Para
:
Fazendo as contas, teremos a energia do estado fundamental.
Passo 4
Vamos calcular as energias:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o comprimento de onda da radiação emitida quando o próton transita de
para
. A energia liberada nessa transição é a diferença entre as energias dos dois estados:
Sabemos que a energia da radiação está relacionada ao comprimento de onda pela equação:
Onde:
-
é a velocidade da luz ( ). -
é o comprimento de onda que queremos encontrar.
Rearranjando para
:
Substituindo os valores:
Resposta
A energia do estado fundamental
é aproximadamente
, e os dois primeiros estados excitados
e
são aproximadamente
e
, respectivamente. O comprimento de onda da radiação emitida na transição de
para
é cerca de
.