(a)Encontre a energia do estado fundamental (n=1) e os dois primeiros estados excitados do próton numa caixa unidimensional de 0,2 nm (em torno do diâmetro de uma molécula de H2 ). Calcule o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida quando o próton faz uma transição de © n=3 para n=2,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos as energias do estado fundamental (quando $ n = 1 $) e dos dois primeiros estados excitados de um próton numa caixa unidimensional com comprimento de $ 0,2 $ nm, que é aproximadamente o diâmetro de uma molécula de $ \mathrm{H}_2 $. Além disso, precisamos calcular o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida quando o próton faz a transição do estado $ n = 3 $ para $ n = 2 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos da Mecânica Quântica, especificamente o modelo da partícula na caixa. Vamos precisar das fórmulas para os níveis de energia e para o comprimento de onda da radiação emitida durante transições entre esses níveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “partícula na caixa”. Esse modelo descreve uma partícula (neste caso, um próton) confinada em uma região limitada de espaço, onde ela pode se mover livremente, mas não pode escapar. As paredes da caixa são consideradas perfeitamente rígidas e intransmissíveis. As energias permitidas para a partícula são quantizadas, ou seja, só certos valores de energia são possíveis.
A fórmula para as energias dos estados permitidos é dada por:
En = n^2 h^28 m L^2
Onde:
  • $ E_n $ é a energia do estado $ n $
  • $ n $ é o número quântico principal (1, 2, 3, …)
  • $ h $ é a constante de Planck ($ 6,626 \times 10^{-34} $ J·s)
  • $ m $ é a massa da partícula (próton)
  • $ L $ é o comprimento da caixa

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que precisamos:
  • Comprimento da caixa ($ L $): $ 0,2 $ nm = $ 0,2 \times 10^{-9} $ m
  • Massa do próton ($ m $): aproximadamente $ 1,673 \times 10^{-27} $ kg
  • Constante de Planck ($ h $): $ 6,626 \times 10^{-34} $ J·s

Passo 4

Vamos calcular a energia para o estado fundamental ($ n = 1 $) usando a fórmula mencionada:
n = 1
Vamos resolver passo a passo:
  1. Calculamos $ h^2 $:
E1 = 1^2 times (6,626 times 10^-34)^28 times (1,673 times 10^-27) times (0,2 times 10^-9)^2
  1. Calculamos $ 8 \times m \times L^2 $:
h^2
  1. Agora, dividimos $ h^2 $ por $ 8mL^2 $:
(6,626 times 10^-34)^2 = 4,39 times 10^-67 , J^2 cdot s^2

Passo 5

Vamos converter a energia de joules para elétron-volts (eV) para facilitar a interpretação. Sabemos que $ 1 , eV = 1,602 \times 10^{-19} , J $.
1 , eV = 1,602 times 10^-19 , J

Passo 6

Agora, vamos calcular as energias dos dois primeiros estados excitados, ou seja, para $ n = 2 $ e $ n = 3 $:
Para $ n = 2 $:
n = 2
Para $ n = 3 $:
n = 3

Passo 7

Agora, vamos calcular o comprimento de onda da radiação emitida quando o próton faz a transição de $ n = 3 $ para $ n = 2 $. A energia emitida nessa transição é a diferença entre as energias desses estados:
n = 3
Para encontrar o comprimento de onda ($ \lambda $), usamos a relação entre energia e comprimento de onda da radiação:
n = 2
Rearranjando para $ \lambda $:
De
Primeiro, vamos converter $ \Delta E $ de eV para joules:
lambda
Agora, substituindo os valores:
E = hclambda

Resposta

A energia do estado fundamental é aproximadamente $ 5,11 \times 10^{-3} , eV $, os dois primeiros estados excitados têm energias de $ 2,04 \times 10^{-2} , eV $ e $ 4,60 \times 10^{-2} , eV $ respectivamente. O comprimento de onda da radiação emitida na transição de $ n = 3 $ para $ n = 2 $ é de aproximadamente $ 48,5 , \mum $.

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