Encontre a equação de cada reta que passa pelo ponto
e seja tangente à curva
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de cada reta que passa pelo ponto
e que é tangente à curva
. Isso envolve conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre retas tangentes a curvas. Vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e, em seguida, montar a equação da reta usando o ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma reta que passa por um ponto
e tem inclinação
é dada por:
No nosso caso, o ponto é
, então a equação da reta fica:
Passo 3
Agora, precisamos que essa reta seja tangente à curva
. Isso significa que ela toca a curva em exatamente um ponto. Para encontrar esse ponto de tangência, vamos igualar as duas equações:
Vamos reorganizar essa equação para obter uma equação quadrática em termos de
:
Passo 4
Como a reta é tangente à curva, essa equação quadrática deve ter exatamente uma solução real. Isso ocorre quando o discriminante da equaç��o quadrática é igual a zero. O discriminante de uma equação
é dado por
. Vamos calcular o discriminante para nossa equação:
Para ter apenas uma solução, precisamos que
:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções para
:
Passo 6
Agora que temos os valores de
, vamos substituir de volta na equação da reta que encontramos no Passo 2 para determinar as equações das retas:
Para
:
Para
:
Resposta
As equações das retas são:
Exercícios relacionados
p)
Encontre a equação da reta tangente à curva:
$© que seja perpendicular à reta
.
$©
Mostre que o conjunto das soluções de
possui as seguintes propriedades:
© A função é uma solução.
© A função
Encontre a equação de cada reta que passa pelo ponto
e seja tangente à curva
.