Encontre a equação de cada reta que passa pelo ponto (3, -2) e seja tangente à curva y = x^2 - 7.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de cada reta que passa pelo ponto (3, -2) e que é tangente à curva . Isso envolve conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre retas tangentes a curvas. Vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e, em seguida, montar a equação da reta usando o ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma reta que passa por um ponto e tem inclinação m é dada por:
No nosso caso, o ponto é , então a equação da reta fica:

Passo 3

Agora, precisamos que essa reta seja tangente à curva . Isso significa que ela toca a curva em exatamente um ponto. Para encontrar esse ponto de tangência, vamos igualar as duas equações:
Vamos reorganizar essa equação para obter uma equação quadrática em termos de x:

Passo 4

Como a reta é tangente à curva, essa equação quadrática deve ter exatamente uma solução real. Isso ocorre quando o discriminante da equaç��o quadrática é igual a zero. O discriminante de uma equação é dado por . Vamos calcular o discriminante para nossa equação:
Para ter apenas uma solução, precisamos que :

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de m:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções para m:

Passo 6

Agora que temos os valores de m, vamos substituir de volta na equação da reta que encontramos no Passo 2 para determinar as equações das retas:
Para :
Para :

Resposta

As equações das retas são:

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