p) (x^3 + 32) / (x^3 - x^2 - 8x + 12) ≥ 1

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que você precisa resolver. A questão é a seguinte:
Estamos lidando com uma desigualdade racional, que envolve frações com polinômios no numerador e denominador. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular frações algébricas e analisar o sinal das expressões envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos trazer tudo para um lado da desigualdade para facilitar a análise. Subtraímos 1 de ambos os lados:

Passo 3

Agora, precisamos combinar os termos em uma única fração. Para isso, colocamos o 1 sobre o denominador comum:

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
Então, nossa desigualdade fica:

Passo 5

Agora, precisamos fatorar o denominador para identificar os valores que tornam a fração indefinida (onde o denominador é zero). Vamos fatorar .
Primeiro, encontramos uma raiz real testando poss��veis valores. Testando :
Então, é uma raiz. Dividindo o polinômio por , obtemos:
Agora, fatoramos :
Portanto, o denominador fatorado é:

Passo 6

A nossa desigualdade agora fica:

Passo 7

Vamos analisar os sinais dessa fração. Primeiro, observamos os pontos críticos onde o denominador é zero: e .
O numerador não tem raízes reais porque o discriminante é negativo. Isso significa que o numerador é sempre positivo.
Agora, analisamos o denominador:
  • é sempre positivo, exceto em , onde é zero.
  • muda de sinal em .

Passo 8

Vamos dividir a reta dos números em intervalos baseados nos pontos críticos e :
  1. Intervalo 1:
  2. Intervalo 2:
  3. Intervalo 3:
Agora, determinamos o sinal da fração em cada intervalo:
  1. Para :
    • Denominador negativo
    • Numerador positivo
    • Fração negativa
  2. Para :
    • Denominador positivo
    • Numerador positivo
    • Fração positiva
  3. Para :
    • Denominador positivo
    • Numerador positivo
    • Fração positiva

Passo 9

Considerando que a desigualdade é , buscamos os intervalos onde a fração é positiva ou zero. Lembrando que a fração é indefinida em e .
Portanto, os intervalos que satisfazem a desigualdade são:

Resposta

A solução da desigualdade é todo número real maior que e diferente de . Em notação de intervalo:

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