Encontre a equação de cada reta que passa pelo ponto (2, -6) e seja tangente à curva y = 3 x^2 - 8.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem que encontrar as equações das retas que passam pelo ponto e que são tangentes à curva . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas (que nos ajudam a encontrar a inclinação de uma curva em um ponto) e as condições de tangência (que garantem que a reta toque a curva apenas em um ponto). Vamos precisar entender um pouquinho de álgebra para igualar as equações e resolver as incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer reta pode ser escrita na forma , onde é a inclinação e é o coeficiente linear (o ponto onde a reta cruza o eixo ). Como a reta passa pelo ponto , podemos usar essas coordenadas para encontrar uma relação entre e .
Substituindo e na equação da reta:
Isso simplifica para:
Então, a equação da reta fica:

Passo 3

Agora, queremos que essa reta seja tangente à curva . Isso significa que as duas equações têm exatamente um ponto em comum. Para encontrar esse ponto, vamos igualar as duas expressões de :
Vamos rearranjar essa equação para formar uma equação quadrática igualada a zero:
Ou seja:

Passo 4

Para que a reta seja tangente à curva, essa equação quadrática deve ter exatamente uma solução real. Isso acontece quando o discriminante ( ) é igual a zero. O discriminante de uma equação do tipo é dado por:
No nosso caso, , e . Vamos calcular o discriminante:
Para que haja tangência, :

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando a raiz:
Então:
Agora que temos os valores de , podemos encontrar usando :
Para :
Para :

Resposta

As equações das retas tangentes são:
e

Exercícios relacionados

Mostre que o conjunto das soluções de y'' + a(t) y' + b(t) y = 0 possui as seguintes propriedades:
© A função y(t) = 0 é uma solução.
Encontre a equação de cada reta que passa pelo ponto (3, -2) e seja tangente à curva y = x^2 - 7.
Para cada função dada, determine f'(x) através da definição de derivada 1 :
$(a) a
Para cada função dada, determine f'(x) através da definição de derivada 1 :
c;