Encontre a equação de cada reta que passa pelo ponto
e seja tangente à curva
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem que encontrar as equações das retas que passam pelo ponto
e que são tangentes à curva
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas (que nos ajudam a encontrar a inclinação de uma curva em um ponto) e as condições de tangência (que garantem que a reta toque a curva apenas em um ponto). Vamos precisar entender um pouquinho de álgebra para igualar as equações e resolver as incógnitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer reta pode ser escrita na forma
, onde
é a inclinação e
é o coeficiente linear (o ponto onde a reta cruza o eixo
). Como a reta passa pelo ponto
, podemos usar essas coordenadas para encontrar uma relação entre
e
.
Substituindo
e
na equação da reta:
Isso simplifica para:
Então, a equação da reta fica:
Passo 3
Agora, queremos que essa reta seja tangente à curva
. Isso significa que as duas equações têm exatamente um ponto em comum. Para encontrar esse ponto, vamos igualar as duas expressões de
:
Vamos rearranjar essa equação para formar uma equação quadrática igualada a zero:
Ou seja:
Passo 4
Para que a reta seja tangente à curva, essa equação quadrática deve ter exatamente uma solução real. Isso acontece quando o discriminante (
) é igual a zero. O discriminante de uma equação do tipo
é dado por:
No nosso caso,
,
e
. Vamos calcular o discriminante:
Para que haja tangência,
:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores de
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando a raiz:
Então:
Agora que temos os valores de
, podemos encontrar
usando
:
Para
:
Para
:
Resposta
As equações das retas tangentes são:
e
Exercícios relacionados
Mostre que o conjunto das soluções de
possui as seguintes propriedades:
© A função é uma solução.
© A função
Encontre a equação de cada reta que passa pelo ponto
e seja tangente à curva
.
Para cada função dada, determine
através da definição de derivada
:
$(a)
$(a)
Para cada função dada, determine
através da definição de derivada
:
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