Encontre a equação da reta tangente à curva:
c que seja perpendicular à reta que seja perpendicular à reta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva que seja perpendicular à reta . Aqui, estamos lidando com derivadas para encontrar a reta tangente e também com a propriedade de perpendicularidade entre retas. Vamos precisar entender como calcular a derivada da função para achar a inclinação da tangente e depois usar essa inclinação para determinar a equação da reta que queremos.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a inclinação da reta dada . Para isso, vamos colocar a equação na forma de , onde é o coeficiente angular (inclinação).
Rearranjando:
Então, a inclinação da reta dada é .

Passo 3

Agora, como a reta tangente que queremos é perpendicular a essa reta, precisamos encontrar a inclinação dessa tangente. Sabemos que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for . Ou seja, se a inclinação da primeira reta é , a da tangente será tal que:
Então, a inclinação da nossa reta tangente é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ponto na curva onde a inclinação da tangente é . Para isso, precisamos calcular a derivada da função, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto.
A função dada é:
Derivando em relação a :
Queremos que essa derivada seja igual a :
Então, o do ponto de tangência é .

Passo 5

Com , vamos encontrar o correspondente na curva:
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 6

Agora que temos o ponto e a inclinação da reta tangente , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente é:

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