Encontre a equação da reta tangente à curva:
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que seja perpendicular à reta
.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva
que seja perpendicular à reta
. Aqui, estamos lidando com derivadas para encontrar a reta tangente e também com a propriedade de perpendicularidade entre retas. Vamos precisar entender como calcular a derivada da função para achar a inclinação da tangente e depois usar essa inclinação para determinar a equação da reta que queremos.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a inclinação da reta dada
. Para isso, vamos colocar a equação na forma de
, onde
é o coeficiente angular (inclinação).
Rearranjando:
Então, a inclinação
da reta dada é
.
Passo 3
Agora, como a reta tangente que queremos é perpendicular a essa reta, precisamos encontrar a inclinação dessa tangente. Sabemos que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for
. Ou seja, se a inclinação da primeira reta é
, a da tangente
será tal que:
Então, a inclinação da nossa reta tangente é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o ponto na curva
onde a inclinação da tangente é
. Para isso, precisamos calcular a derivada da função, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto.
A função dada é:
Derivando em relação a
:
Queremos que essa derivada seja igual a
:
Então, o
do ponto de tangência é
.
Passo 5
Com
, vamos encontrar o
correspondente na curva:
Portanto, o ponto de tangência é
.
Passo 6
Agora que temos o ponto
e a inclinação da reta tangente
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente é:
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Considerando que, em um experimento de adubação, a resposta do crescimento de uma planta
pode ser dada por
em que
é a quantidade de fertilizante adicionada:
(d) Esboce o gráfico de .
(d) Esboce o gráfico de
Encontre a equação da reta tangente à curva:
$(b) que seja paralela à reta
$(b)
p)
Encontre a equação de cada reta que passa pelo ponto
e seja tangente à curva
.