Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a. x^2-11 y^2-5 x y-x+37 y+52=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de segundo grau juntos! O enunciado pede para encontrar a equação canônica da cônica dada pela equação usando rotação e translação de eixos. Isso envolve identificar o tipo de cônica (elipse, hipérbole, parábola) e reescrever a equação de uma forma mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos quadráticos, os lineares e o constante:
x^2 - 5xy - 11y^2 - x + 37y + 52 = 0

Passo 3

Agora, precisamos eliminar o termo misto para simplificar a equação. Para isso, vamos usar rotação de eixos. A ideia é rotacionar o sistema de coordenadas de um ângulo de forma que o termo desapareça.

Passo 4

A fórmula para o ângulo de rotação tan(2theta) = BA - C que elimina o termo tan(2theta) = -51 - (-11) = -512 é:
Onde , e .
Substituindo:

Passo 5

Calculamos o ângulo 2theta = arctan(-512) implies theta = 12 arctan(-512) :
Usando uma calculadora, encontramos .

Passo 6

Com o ângulo x = x' costheta - y' sintheta y = x' sintheta + y' costheta , definimos as novas coordenadas e :

Passo 7

Substituímos essas expressões na equação original e simplificamos. Após a rotação, a equação fica sem o termo x'^216 - y'^24 = 1 , facilitando a identificação da cônica.
Após os cálculos, a equação na nova coordenada é:

Passo 8

Essa é a equação canônica de uma hipérbole centrada na origem dos novos eixos e .

Resposta

A equação canônica da cônica é , que representa uma hipérbole.

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