Resolva os seguintes sistemas por eliminação Gauss-Jordan. (x=3, y=-3, z=4)
2 x+3 y-z & =-7 x+y+z & =4 -x-2 y+3 z & =15

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a eliminação de Gauss-Jordan. O que isso significa? Basicamente, vamos manipular as equações para isolar cada variável (x, y, z) passo a passo. Para isso, vamos precisar reorganizar as equações em uma matriz aumentada e aplicar operações para chegar à solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada junta os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações:
2 & 3 & -1 & | & -7 1 & 1 & 1 & | & 4 -1 & -2 & 3 & | & 15

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz na forma reduzida por linhas, onde teremos 1’s na diagonal principal e zeros nas outras posições. Vamos começar criando um 1 na posição (1,1) dividindo a primeira linha por 2:
1 & 1.5 & -0.5 & | & -3.5 1 & 1 & 1 & | & 4 -1 & -2 & 3 & | & 15

Passo 4

Agora, vamos eliminar o x das outras duas linhas. Para isso:
  • Subtraímos a primeira linha da segunda linha:
  • Adicionamos a primeira linha à terceira linha:
A matriz fica assim:
(L2) - (L1) Rightarrow 0 & -0.5 & 1.5 & | & 7.5

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos um 1 na posição (2,2). Para isso, multiplicamos a segunda linha por -2:
1 & 1.5 & -0.5 & | & -3.5 0 & 1 & -3 & | & -15 0 & -0.5 & 2.5 & | & 11.5

Passo 6

Vamos eliminar o y da terceira linha. Para isso, somamos metade da segunda linha à terceira linha:
Observamos que há um erro aqui, já que isso levaria a uma inconsistência. Vamos revisar os cálculos:
Após multiplicar a segunda linha por -2, a matriz correta fica:
(L3) + 0.5 times (L2) Rightarrow 0 & 0 & 0 & | & -3.75
Agora, para eliminar o y da terceira linha, multiplicamos a segunda linha por 0.5 e somamos à terceira:
A matriz fica:
1 & 1.5 & -0.5 & | & -3.5 0 & 1 & -3 & | & -15 0 & -0.5 & 2.5 & | & 11.5

Passo 7

Agora que temos um 1 na posição (3,3), vamos usar isso para eliminar o z das outras linhas.
  • Na segunda linha:
  • Na primeira linha:
A matriz atualizada é:
(L2) + 3 times (L3) Rightarrow 0 & 1 & 0 & | & -3

Passo 8

Por último, vamos eliminar o y da primeira linha. Para isso, subtraímos 1.5 vezes a segunda linha da primeira:
A matriz final fica:
(L1) - 1.5 times (L2) Rightarrow 1 & 0 & 0 & | & 3

Resposta

Portanto, a solução do sistema é:
x = 3, y = -3, z = 4

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