Resolva os seguintes sistemas por eliminação Gauss-Jordan.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a eliminação de Gauss-Jordan. O que isso significa? Basicamente, vamos manipular as equações para isolar cada variável (x, y, z) passo a passo. Para isso, vamos precisar reorganizar as equações em uma matriz aumentada e aplicar operações para chegar à solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada junta os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações:
Passo 3
Nosso objetivo é transformar essa matriz na forma reduzida por linhas, onde teremos 1’s na diagonal principal e zeros nas outras posições. Vamos começar criando um 1 na posição (1,1) dividindo a primeira linha por 2:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o x das outras duas linhas. Para isso:
- Subtraímos a primeira linha da segunda linha:
- Adicionamos a primeira linha à terceira linha:
A matriz fica assim:
Passo 5
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos um 1 na posição (2,2). Para isso, multiplicamos a segunda linha por -2:
Passo 6
Vamos eliminar o y da terceira linha. Para isso, somamos metade da segunda linha à terceira linha:
Observamos que há um erro aqui, já que isso levaria a uma inconsistência. Vamos revisar os cálculos:
Após multiplicar a segunda linha por -2, a matriz correta fica:
Agora, para eliminar o y da terceira linha, multiplicamos a segunda linha por 0.5 e somamos à terceira:
A matriz fica:
Passo 7
Agora que temos um 1 na posição (3,3), vamos usar isso para eliminar o z das outras linhas.
- Na segunda linha:
- Na primeira linha:
A matriz atualizada é:
Passo 8
Por último, vamos eliminar o y da primeira linha. Para isso, subtraímos 1.5 vezes a segunda linha da primeira:
A matriz final fica:
Resposta
Portanto, a solução do sistema é: