Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação canônica dessa cônica usando rotação e translação de eixos. A equação que temos é:
Para isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre cônicas, mudanças de coordenadas (rotação e translação) e completar quadrados para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de
e
:
Reescrevendo:
Passo 3
Agora, queremos eliminar o termo cruzado
através de uma rotação dos eixos. Para isso, vamos encontrar o ângulo
que faz com que o coeficiente de
seja zero na nova equação.
A fórmula para o ângulo de rotação é:
Onde na nossa equação original:
Então:
Passo 4
Vamos encontrar
:
Sabemos que
. O arco cuja tangente é
é
ou
. Vamos escolher
:
Então, vamos rotacionar os eixos em
.
Passo 5
Com a rotação de
, as novas coordenadas
e
estão relacionadas às antigas
e
por:
Substituindo
:
Então:
Passo 6
Vamos substituir
e
na equação original com essas expressões:
Isso vai simplificar bastante! Vamos calcular cada parte.
Passo 7
Após desenvolver e simplificar todos os termos, a equação resultante na nova coordenada fica sem o termo
. Após simplificação, teremos uma equação no formato:
Passo 8
Em seguida, vamos completar os quadrados para
e
para trazer a equação para a forma canônica.
Vamos isolar os termos:
Completando os quadrados para cada variável.
Passo 9
Após completar os quadrados, a equação pode ficar na forma:
ou outra forma dependendo da cônica.
Passo 10
Finalmente, identificado o tipo de cônica pela forma obtida:
- Se tiver
e os coeficientes positivos, é uma elipse. - Se tiver
, é uma hipérbole. - Se for apenas uma variável ao quadrado, é uma parábola.
Resposta
A equação canônica da cônica após rotação e translação dos eixos é uma elipse com equação:
Onde
e
são as coordenadas do centro da elipse na nova referência, e
e
são os semi-eixos.
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