Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial E indicado: é um subespaço vetorial de .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto e queremos saber se esse conjunto é um subespaço vetorial do espaço . Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial e quais são as propriedades que ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que define um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de se:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. É fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um número real, então também deve estar em .
Vamos verificar essas propriedades para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele pertence a :
Como , . Portanto, , o que significa que não está em .

Passo 4

2. Verificando a adição de vetores em :
Mesmo que não contenha o vetor zero, vamos supor que a gente queira ver se a soma de dois vetores de também está em . Seja e em , então:
Para que esteja em , precisaríamos que:
Mas, na verdade:
Como e , temos:
Isso não é igual a a menos que , o que não é garantido. Portanto, não é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificando a multiplicação por escalar:
Vamos ver se multiplicar um vetor de por um escalar mantém o vetor em . Seja em , então:
Para estar em , precisaríamos que:
Isso significa que apenas quando ou , o vetor resultante está em . Para qualquer outro valor de , não estará em . Portanto, não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto não contém o vetor zero, não é fechado sob adição nem sob multiplicação por escalar, ele não é um subespaço vetorial de .

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