Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial E indicado: W=(x, y) ; x^2+y^2=a^2, a>0 é um subespaço vetorial de R^2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto e queremos saber se esse conjunto é um subespaço vetorial do espaço . Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial e quais são as propriedades que ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que define um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de se:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. É fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um número real, então também deve estar em .
Vamos verificar essas propriedades para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se x^2 + y^2 = a^2 0^2 + 0^2 = a^2 0 = a^2 contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele pertence a :
Como , . Portanto, , o que significa que não está em .

Passo 4

2. Verificando a adição de vetores em u + v = (x1 + x2, y1 + y2) :
Mesmo que (x1 + x2)^2 + (y1 + y2)^2 = a^2 não contenha o vetor zero, vamos supor que a gente queira ver se a soma de dois vetores de (x1 + x2)^2 + (y1 + y2)^2 = x1^2 + 2x1x2 + x2^2 + y1^2 + 2y1y2 + y2^2 também está em x1^2 + y1^2 + x2^2 + y2^2 + 2x1x2 + 2y1y2 = 2a^2 + 2(x1x2 + y1y2) . Seja e em , então:
Para que esteja em , precisaríamos que:
Mas, na verdade:
Como e , temos:
Isso não é igual a a menos que , o que não é garantido. Portanto, não é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificando a multiplicação por escalar:
Vamos ver se multiplicar um vetor de cu = (cx, cy) por um escalar (cx)^2 + (cy)^2 = a^2 c^2(x^2 + y^2) = a^2 c^2a^2 = a^2 c^2 = 1 c = pm 1 mantém o vetor em . Seja em , então:
Para estar em , precisaríamos que:
Isso significa que apenas quando ou , o vetor resultante está em . Para qualquer outro valor de , não estará em . Portanto, não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto não contém o vetor zero, não é fechado sob adição nem sob multiplicação por escalar, ele não é um subespaço vetorial de .

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