Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial E indicado:
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
e queremos saber se esse conjunto é um subespaço vetorial do espaço
. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial e quais são as propriedades que ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que define um subespaço vetorial. Um conjunto
é um subespaço de
se:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar em . - É fechado sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - É fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um número real, então também deve estar em .
Vamos verificar essas propriedades para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se
contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele pertence a
:
Como
,
. Portanto,
, o que significa que
não está em
.
Passo 4
2. Verificando a adição de vetores em
:
Mesmo que
não contenha o vetor zero, vamos supor que a gente queira ver se a soma de dois vetores de
também está em
. Seja
e
em
, então:
Para que
esteja em
, precisaríamos que:
Mas, na verdade:
Como
e
, temos:
Isso não é igual a
a menos que
, o que não é garantido. Portanto,
não é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificando a multiplicação por escalar:
Vamos ver se multiplicar um vetor de
por um escalar
mantém o vetor em
. Seja
em
, então:
Para
estar em
, precisaríamos que:
Isso significa que apenas quando
ou
, o vetor resultante está em
. Para qualquer outro valor de
,
não estará em
. Portanto,
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto
não contém o vetor zero, não é fechado sob adição nem sob multiplicação por escalar, ele não é um subespaço vetorial de
.
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para a base
desse mesmo espaço é:
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