A matriz mudança de uma base B do
para a base
desse mesmo espaço é:
Determine a base B.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma matriz que representa a mudança de base de uma base
em
para a base
. Nosso objetivo é descobrir qual é essa base
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre mudança de base e matrizes de transição. Vamos juntos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma mudança de base. Em espaços vetoriais, uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que geram todo o espaço. Quando mudamos de uma base para outra, usamos uma matriz de transição que nos ajuda a converter as coordenadas dos vetores de uma base para a outra.
Passo 3
A matriz de mudança de base que você forneceu é:
Essa matriz faz a transição da base
para a base
. Para encontrar a base
, precisamos descobrir quais vetores em
correspondem às colunas dessa matriz quando passamos da base
para a base conhecida.
Passo 4
Para encontrar a base
, vamos usar a inversa da matriz de mudança de base. Basicamente, a matriz inversa nos permite voltar de onde viemos. Então, vamos calcular a inversa da matriz que você forneceu:
A inversa de uma matriz
é dada por:
Passo 5
Vamos calcular o determinante de
:
Como o determinante é diferente de zero, a matriz
é invertível.
Passo 6
Agora, aplicando a fórmula da inversa:
Passo 7
A inversa
nos dá a matriz de mudança de base da base
para a base
. Cada coluna de
representa os coordenadas dos vetores da base
na base conhecida.
Passo 8
Vamos interpretar as colunas de
:
Primeira coluna:
Segunda coluna:
Isso significa que os vetores da base
são:
Resposta
A base
é formada pelos vetores
e
.