A matriz mudança de uma base B do R^2 para a base (0,1),(2,1) desse mesmo espaço é:
(ll 1 & 0 2 & 3 )
Determine a base B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma matriz que representa a mudança de base de uma base em para a base . Nosso objetivo é descobrir qual é essa base . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre mudança de base e matrizes de transição. Vamos juntos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma mudança de base. Em espaços vetoriais, uma base é um conjunto de vetores que são lineares e que geram todo o espaço. Quando mudamos de uma base para outra, usamos uma matriz de transição que nos ajuda a converter as coordenadas dos vetores de uma base para a outra.

Passo 3

A matriz de mudança de base que você forneceu é:
1 & 0 2 & 3
Essa matriz faz a transição da base para a base . Para encontrar a base , precisamos descobrir quais vetores em correspondem às colunas dessa matriz quando passamos da base para a base conhecida.

Passo 4

Para encontrar a base A = 1 & 0 2 & 3 , vamos usar a inversa da matriz de mudança de base. Basicamente, a matriz inversa nos permite voltar de onde viemos. Então, vamos calcular a inversa da matriz que você forneceu:
a & b c & d
A inversa de uma matriz A^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a é dada por:

Passo 5

Vamos calcular o determinante de det(A) = (1)(3) - (0)(2) = 3 :
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 6

Agora, aplicando a fórmula da inversa:
A^-1 = 13 3 & 0 -2 & 1 = 1 & 0 -23 & 13

Passo 7

A inversa nos dá a matriz de mudança de base da base para a base . Cada coluna de representa os coordenadas dos vetores da base na base conhecida.

Passo 8

Vamos interpretar as colunas de 1 -23 :
Primeira coluna: 0 13
Segunda coluna: b1 = 1 cdot 0 1 + (-23) cdot 2 1 = 0 1 + -43 -23 = -43 13
Isso significa que os vetores da base b2 = 0 cdot 0 1 + 13 cdot 2 1 = 0 0 + 23 13 = 23 13 são:

Resposta

A base é formada pelos vetores e .

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