Verifique que , é homomorfismo. Calcule e . Conclua que não é monomorfismo e nem epimorfismo.
Passo 1
Vamos resumir o problema: Temos uma função que vai dos números pares () para os inteiros módulo 6 (). A função é definida por . Nosso objetivo é mostrar que é um homomorfismo, calcular o núcleo () e a imagem () dessa função, e concluir que não é nem monomorfismo nem epimorfismo. Para isso, precisaremos entender conceitos de homomorfismo, núcleo e imagem em álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é um homomorfismo. Em álgebra, um homomorfismo de grupos preserva a operação dos grupos. Aqui a operação é a adição. Isso significa que para quaisquer , deve valer:
Vamos calcular ambos os lados:
Como , a função preserva a operação e, portanto, é um homomorfismo.
Passo 3
Agora, vamos calcular o núcleo de , que é o conjunto de todos os elementos de que são mapeados para o elemento neutro de , que é . Matemáticamente:
Isso significa que queremos todos os números pares tais que é múltiplo de 6 (pois em quando é múltiplo de 6). Portanto:
Passo 4
Vamos calcular a imagem de , que é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Como mapeia para , vamos ver quais classes são possíveis:
Isso ocorre porque os números pares, quando divididos por 6, deixam restos 0, 2 ou 4.
Passo 5
Por último, vamos verificar se é monomorfismo (injeção) ou epimorfismo (sobrejeção).
Monomorfismo: Um homomorfismo é injetora se seu núcleo for trivial, ou seja, . No nosso caso, , que contém mais elementos além de 0. Portanto, não é um monomorfismo.
Epimorfismo: Um homomorfismo é sobrejetor se sua imagem é todo o codomínio. Aqui, e tem 6 elementos. Como nem todos os elementos estão na imagem, não é um epimorfismo.