Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação de segundo grau:
Nosso objetivo aqui é encontrar a equação canônica dessa cônica. Para isso, vamos usar rotação de eixos, que nos ajuda a eliminar o termo misto
e deixar a equação mais simples. Vamos precisar entender como girar o sistema de coordenadas para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação geral da cônica:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(coeficiente de )
Para eliminar o termo
, a gente usa a fórmula para encontrar o ângulo de rotação
:
Substituindo os valores:
Agora, precisamos achar
. Usando a tangente inversa:
Passo 3
Com o ângulo
definido, vamos fazer a mudança de coordenadas para
e
de forma que a equação não tenha mais o termo
. As fórmulas de rotação são:
Agora, substituímos essas expressões na equação original:
Depois de expandir e simplificar essa expressão (o que envolve bastante cálculo), veremos que o termo
desaparece, deixando apenas termos em
,
e constantes.
Passo 4
Após simplificar, a equação pode ser escrita na forma canônica:
Onde
e
são novos coeficientes ajustados pela rotação. Dependendo dos sinais e valores de
e
, podemos identificar a cônica:
- Se
e têm sinais iguais e diferentes de zero, é uma hipérbole. - Se
e têm o mesmo sinal e não são iguais, é uma elipse. - Se um dos coeficientes é zero, pode ser uma parábola.
Resposta
A equação canônica da cônica após a rotação dos eixos é uma hipérbole:
Onde
,
e
são constantes determinadas após a simplificação completa da equação.
Exercícios relacionados
Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Utilize a transformada de Fourier para encontrar uma solução para a seguinte equação diferencial:
sujeita a
.
Verifique que
, é homomorfismo. Calcule
e
. Conclua que
não é monomorfismo e nem epimorfismo.
Sendo
e
homomorfismos de aneis, prove que
é homomorfismo.