Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação de segundo grau:
Nosso objetivo aqui é encontrar a equação canônica dessa cônica. Para isso, vamos usar rotação de eixos, que nos ajuda a eliminar o termo misto e deixar a equação mais simples. Vamos precisar entender como girar o sistema de coordenadas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação geral da cônica:
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
Para eliminar o termo , a gente usa a fórmula para encontrar o ângulo de rotação :
Substituindo os valores:
Agora, precisamos achar . Usando a tangente inversa:

Passo 3

Com o ângulo definido, vamos fazer a mudança de coordenadas para e de forma que a equação não tenha mais o termo . As fórmulas de rotação são:
Agora, substituímos essas expressões na equação original:
Depois de expandir e simplificar essa expressão (o que envolve bastante cálculo), veremos que o termo desaparece, deixando apenas termos em , e constantes.

Passo 4

Após simplificar, a equação pode ser escrita na forma canônica:
Onde e são novos coeficientes ajustados pela rotação. Dependendo dos sinais e valores de e , podemos identificar a cônica:
  • Se e têm sinais iguais e diferentes de zero, é uma hipérbole.
  • Se e têm o mesmo sinal e não são iguais, é uma elipse.
  • Se um dos coeficientes é zero, pode ser uma parábola.

Resposta

A equação canônica da cônica após a rotação dos eixos é uma hipérbole:
Onde , e são constantes determinadas após a simplificação completa da equação.

Exercícios relacionados

Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Utilize a transformada de Fourier para encontrar uma solução para a seguinte equação diferencial:
sujeita a .
Verifique que , é homomorfismo. Calcule e . Conclua que não é monomorfismo e nem epimorfismo.
Sendo e homomorfismos de aneis, prove que é homomorfismo.