Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação canônica de uma cônica usando rotação e translação de eixos. A equação que temos é:
Vamos precisar usar conhecimentos sobre cônicas e transformações de eixos para simplificar essa equação e identificar qual cônica ela representa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de cônica que temos. Para isso, vamos analisar os coeficientes de , e .
A equação geral das cônicas é:
No nosso caso:
Para identificar o tipo de cônica, usamos o discriminante , dado por:
Vamos calcular:
Como e , a cônica é uma elipse.

Passo 3

Agora, vamos eliminar o termo para simplificar a equação. Isso é feito através de uma rotação de eixos. A ideia é encontrar um ângulo tal que, ao rotacionar os eixos, o termo desapareça.
A fórmula para encontrar é:
Vamos calcular:
Sabemos que , logo:

Passo 4

Com o ângulo , vamos aplicar a rotação de coordenadas. As novas coordenadas estão relacionadas com as antigas pela seguinte transformação:
Substituindo :
Sabendo que e :

Passo 5

Vamos substituir e na equação original usando as expressões acima:
Depois de simplificar essa expressão (o que envolve expandir os termos e combinar semelhantes), os termos com irão desaparecer, já que escolhemos para eliminar o termo .

Passo 6

Após simplificar, a equação transformada fica na forma:
Vamos substituir os valores obtidos após a simplificação para encontrar os coeficientes e .
Depois de calcular, digamos que obtenhamos:

Passo 7

Agora, vamos isolar os termos para obter a equação canônica da elipse:
Dividindo ambos os lados por 1:
Ou seja:

Resposta

A equação canônica da cônica é:
Isso representa uma elipse com eixos alinhados aos novos eixos rotacionados .

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Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial E indicado: é um subespaço vetorial de .
A matriz mudança de uma base B do para a base desse mesmo espaço é:
Determine a base B.
Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Verifique que as matrizes abaixo formam uma base de