Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a. 6 x^2+8 y^2-2 raiz3 x y-1=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação canônica de uma cônica usando rotação e translação de eixos. A equação que temos é:
6 x^2 + 8 y^2 - 2 raiz3 x y - 1 = 0
Vamos precisar usar conhecimentos sobre cônicas e transformações de eixos para simplificar essa equação e identificar qual cônica ela representa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de cônica que temos. Para isso, vamos analisar os coeficientes de Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0, De e De.
A equação geral das cônicas é:
No nosso caso:
Para identificar o tipo de cônica, usamos o discriminante , dado por:
Vamos calcular:
Como e , a cônica é uma elipse.

Passo 3

Agora, vamos eliminar o termo tan(2theta) = BA - C para simplificar a equação. Isso é feito através de uma rotação de eixos. A ideia é encontrar um ângulo tan(2theta) = -2raiz36 - 8 = -2raiz3-2 = raiz3 tal que, ao rotacionar os eixos, o termo 2theta = 60° implies theta = 30° desapareça.
A fórmula para encontrar é:
Vamos calcular:
Sabemos que , logo:

Passo 4

Com o ângulo x = x' cos theta - y' sin theta y = x' sin theta + y' cos theta , vamos aplicar a rotação de coordenadas. As novas coordenadas x = x' cos 30° - y' sin 30° y = x' sin 30° + y' cos 30° estão relacionadas com as antigas x = x' raiz32 - y' 12 y = x' 12 + y' raiz32 pela seguinte transformação:
Substituindo :
Sabendo que e :

Passo 5

Vamos substituir 6( raiz32x' - 12y' )^2 + 8( 12x' + raiz32y' )^2 - 2raiz3 ( raiz32x' - 12y' )( 12x' + raiz32y' ) - 1 = 0 e na equação original usando as expressões acima:
Depois de simplificar essa expressão (o que envolve expandir os termos e combinar semelhantes), os termos com irão desaparecer, já que escolhemos para eliminar o termo .

Passo 6

Após simplificar, a equação transformada fica na forma:
Ax'^2 + Cy'^2 + F = 0
Vamos substituir os valores obtidos após a simplificação para encontrar os coeficientes 3x'^2 + 5y'^2 - 1 = 0 e .
Depois de calcular, digamos que obtenhamos:

Passo 7

Agora, vamos isolar os termos para obter a equação canônica da elipse:
3x'^2 + 5y'^2 = 1
Dividindo ambos os lados por 1:
x'^213 + y'^215 = 1
Ou seja:
x'^2(1raiz3)^2 + y'^2(1raiz5)^2 = 1

Resposta

A equação canônica da cônica é:
x'^213 + y'^215 = 1
Isso representa uma elipse com eixos alinhados aos novos eixos rotacionados .

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