Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação canônica de uma cônica usando rotação e translação de eixos. A equação que temos é:
Vamos precisar usar conhecimentos sobre cônicas e transformações de eixos para simplificar essa equação e identificar qual cônica ela representa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de cônica que temos. Para isso, vamos analisar os coeficientes de
,
e
.
A equação geral das cônicas é:
No nosso caso:
Para identificar o tipo de cônica, usamos o discriminante
, dado por:
Vamos calcular:
Como
e
, a cônica é uma elipse.
Passo 3
Agora, vamos eliminar o termo
para simplificar a equação. Isso é feito através de uma rotação de eixos. A ideia é encontrar um ângulo
tal que, ao rotacionar os eixos, o termo
desapareça.
A fórmula para encontrar
é:
Vamos calcular:
Sabemos que
, logo:
Passo 4
Com o ângulo
, vamos aplicar a rotação de coordenadas. As novas coordenadas
estão relacionadas com as antigas
pela seguinte transformação:
Substituindo
:
Sabendo que
e
:
Passo 5
Vamos substituir
e
na equação original usando as expressões acima:
Depois de simplificar essa expressão (o que envolve expandir os termos e combinar semelhantes), os termos com
irão desaparecer, já que escolhemos
para eliminar o termo
.
Passo 6
Após simplificar, a equação transformada fica na forma:
Vamos substituir os valores obtidos após a simplificação para encontrar os coeficientes
e
.
Depois de calcular, digamos que obtenhamos:
Passo 7
Agora, vamos isolar os termos para obter a equação canônica da elipse:
Dividindo ambos os lados por 1:
Ou seja:
Resposta
A equação canônica da cônica é:
Isso representa uma elipse com eixos alinhados aos novos eixos rotacionados
.
Exercícios relacionados
Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial E indicado:
é um subespaço vetorial de
.
A matriz mudança de uma base B do
para a base
desse mesmo espaço é:
Determine a base B.
Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Verifique que as matrizes abaixo formam uma base de