Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a. 4 x^2+y^2+-4 x y-8 raiz5 x-16 raiz5 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação que representa uma cônica. O objetivo aqui é encontrar a equação canônica usando rotação e translação de eixos, e depois identificar que tipo de cônica é essa. A equação que a gente tem é:
4x^2 + y^2 - 4xy - 8raiz5x - 16raiz5y = 0
Vamos precisar entender como eliminar o termo cruzado ( ) usando rotação de eixos e depois fazer uma translação para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos eliminar o termo cruzado ( ) que está atrapalhando a identificação da cônica. Para isso, usamos uma rotação dos eixos. A ideia é girar o sistema de coordenadas de um certo ângulo de modo que, na nova base, o termo desapareça.

Passo 3

Para encontrar o ângulo tan(2theta) = BA - C que elimina o termo tan(2theta) = -44 - 1 = -43 , usamos a fórmula:
Onde , , e . Substituindo:
Então, , e .

Passo 4

Agora, vamos calcular cos(2theta) = A - Craiz(A - C)^2 + B^2 = 4 - 1raiz(4 - 1)^2 + (-4)^2 = 35 e sin(2theta) = Braiz(A - C)^2 + B^2 = -45 . Usando identidades trigonométricas:
costheta = raiz1 + cos(2theta)2 = raiz1 + 352 = 2raiz5
sintheta = raiz1 - cos(2theta)2 = raiz1 - 352 = 1raiz5
Usando as fórmulas de ângulo duplo:

Passo 5

Com x = x'costheta - y'sintheta = 2x' - y'raiz5 e y = x'sintheta + y'costheta = x' + 2y'raiz5 encontrados, fazemos a mudança de coordenadas:
Agora, substituímos esses valores na equação original para eliminar o termo .

Passo 6

Substituindo 4(2x' - y'raiz5)^2 + (x' + 2y'raiz5)^2 - 4(2x' - y'raiz5)(x' + 2y'raiz5) - 8raiz5(2x' - y'raiz5) - 16raiz5(x' + 2y'raiz5) = 0 e na equação original:
Simplificando essa equação, os termos cruzados serão eliminados.

Passo 7

Após simplificar, a equação fica sem o termo 5x'^2 - 20y' = 0 :
Agora, precisamos fazer uma translação para eliminar os termos lineares e chegar à forma canônica.

Passo 8

Vamos realizar a translação substituindo e , de forma a completar o quadrado e eliminar os termos de primeira ordem. Ao resolver, encontramos os valores de e que zeram os termos lineares.

Passo 9

Após a translação, a equação assume a forma canônica:
(X)^24 - (Y)^21 = 0
Isso é a equação padrão de uma hipérbole.

Resposta

A equação canônica da cônica é:
X^24 - Y^21 = 0
E ela é uma hipérbole.

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