Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação que representa uma cônica. O objetivo aqui é encontrar a equação canônica usando rotação e translação de eixos, e depois identificar que tipo de cônica é essa. A equação que a gente tem é:
Vamos precisar entender como eliminar o termo cruzado (
) usando rotação de eixos e depois fazer uma translação para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, precisamos eliminar o termo cruzado (
) que está atrapalhando a identificação da cônica. Para isso, usamos uma rotação dos eixos. A ideia é girar o sistema de coordenadas de um certo ângulo
de modo que, na nova base, o termo
desapareça.
Passo 3
Para encontrar o ângulo
que elimina o termo
, usamos a fórmula:
Onde
,
, e
. Substituindo:
Então,
, e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
. Usando identidades trigonométricas:
Usando as fórmulas de ângulo duplo:
Passo 5
Com
e
encontrados, fazemos a mudança de coordenadas:
Agora, substituímos esses valores na equação original para eliminar o termo
.
Passo 6
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando essa equação, os termos cruzados
serão eliminados.
Passo 7
Após simplificar, a equação fica sem o termo
:
Agora, precisamos fazer uma translação para eliminar os termos lineares e chegar à forma canônica.
Passo 8
Vamos realizar a translação substituindo
e
, de forma a completar o quadrado e eliminar os termos de primeira ordem. Ao resolver, encontramos os valores de
e
que zeram os termos lineares.
Passo 9
Após a translação, a equação assume a forma canônica:
Isso é a equação padrão de uma hipérbole.
Resposta
A equação canônica da cônica é:
E ela é uma hipérbole.
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Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial E indicado:
é um subespaço vetorial de
.
Verifique que as matrizes abaixo formam uma base de
Quais dos seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes?
(a) ;
© ;
(b) ;
(d) .
(a)
©
(b)
(d)