Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação que representa uma cônica. O objetivo aqui é encontrar a equação canônica usando rotação e translação de eixos, e depois identificar que tipo de cônica é essa. A equação que a gente tem é:
Vamos precisar entender como eliminar o termo cruzado ( ) usando rotação de eixos e depois fazer uma translação para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos eliminar o termo cruzado ( ) que está atrapalhando a identificação da cônica. Para isso, usamos uma rotação dos eixos. A ideia é girar o sistema de coordenadas de um certo ângulo de modo que, na nova base, o termo desapareça.

Passo 3

Para encontrar o ângulo que elimina o termo , usamos a fórmula:
Onde , , e . Substituindo:
Então, , e .

Passo 4

Agora, vamos calcular e . Usando identidades trigonométricas:
Usando as fórmulas de ângulo duplo:

Passo 5

Com e encontrados, fazemos a mudança de coordenadas:
Agora, substituímos esses valores na equação original para eliminar o termo .

Passo 6

Substituindo e na equação original:
Simplificando essa equação, os termos cruzados serão eliminados.

Passo 7

Após simplificar, a equação fica sem o termo :
Agora, precisamos fazer uma translação para eliminar os termos lineares e chegar à forma canônica.

Passo 8

Vamos realizar a translação substituindo e , de forma a completar o quadrado e eliminar os termos de primeira ordem. Ao resolver, encontramos os valores de e que zeram os termos lineares.

Passo 9

Após a translação, a equação assume a forma canônica:
Isso é a equação padrão de uma hipérbole.

Resposta

A equação canônica da cônica é:
E ela é uma hipérbole.

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(a) ;
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(b) ;
(d) .