Sendo e homomorfismos de aneis, prove que é homomorfismo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de álgebra, mais especificamente sobre homomorfismos de anéis. O que a gente precisa provar é que, dado dois homomorfismos de anéis e , a composição desses dois, , também é um homomorfismo de anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo de anéis e como as propriedades dele se comportam na composição de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um homomorfismo de anéis. Um homomorfismo de anéis é uma função entre dois anéis que preserva as duas operações fundamentais dos anéis: a adição e a multiplicação. Ou seja, se é um homomorfismo de anéis, então para todo :
(Preserva a adição)
(Preserva a multiplicação)
(Se os anéis têm elemento identidade)
Vamos usar essas propriedades para verificar se a composição também satisfaz essas condições.
Passo 3
Vamos verificar se preserva a adição. Pegue dois elementos quaisquer :
Como é um homomorfismo, sabemos que:
Então:
Agora, como também é um homomorfismo, ele preserva a adição:
Portanto:
Isso mostra que preserva a adição.
Passo 4
Agora, vamos verificar se preserva a multiplicação. Mais uma vez, tome :
Como é um homomorfismo de anéis, temos:
Então:
E como preserva a multiplicação:
Portanto:
Isso mostra que preserva a multiplicação.
Passo 5
Por último, precisamos verificar se mapeia a identidade de para a identidade de . Ou seja, verificar se:
Primeiro, aplicamos :
Depois, aplicamos :
Portanto:
Isso confirma que também preserva a identidade.
Resposta
Prontinho! Demonstramos que a composição preserva tanto a adição quanto a multiplicação e mapeia a identidade corretamente. Portanto, é, de fato, um homomorfismo de anéis.