Sendo f: A B e g: B C homomorfismos de aneis, prove que g circ f: A C é homomorfismo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de álgebra, mais especificamente sobre homomorfismos de anéis. O que a gente precisa provar é que, dado dois homomorfismos de anéis e , a composição desses dois, , também é um homomorfismo de anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo de anéis e como as propriedades dele se comportam na composição de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um homomorfismo de anéis. Um homomorfismo de anéis é uma função entre dois anéis que preserva as duas operações fundamentais dos anéis: a adição e a multiplicação. Ou seja, se é um homomorfismo de anéis, então para todo :
  1. (Preserva a adição)
  2. (Preserva a multiplicação)
  3. (Se os anéis têm elemento identidade)
Vamos usar essas propriedades para verificar se a composição também satisfaz essas condições.

Passo 3

Vamos verificar se (g circ f)(a + a') = g(f(a + a')) preserva a adição. Pegue dois elementos quaisquer f(a + a') = f(a) + f(a') :
g(f(a + a')) = g(f(a) + f(a'))
Como g(f(a) + f(a')) = g(f(a)) + g(f(a')) é um homomorfismo, sabemos que:
(g circ f)(a + a') = (g circ f)(a) + (g circ f)(a')
Então:
Agora, como também é um homomorfismo, ele preserva a adição:
Portanto:
Isso mostra que preserva a adição.

Passo 4

Agora, vamos verificar se (g circ f)(a cdot a') = g(f(a cdot a')) preserva a multiplicação. Mais uma vez, tome f(a cdot a') = f(a) cdot f(a') :
g(f(a cdot a')) = g(f(a) cdot f(a'))
Como g(f(a) cdot f(a')) = g(f(a)) cdot g(f(a')) é um homomorfismo de anéis, temos:
(g circ f)(a cdot a') = (g circ f)(a) cdot (g circ f)(a')
Então:
E como preserva a multiplicação:
Portanto:
Isso mostra que preserva a multiplicação.

Passo 5

Por último, precisamos verificar se (g circ f)(1A) = 1C mapeia a identidade de f(1A) = 1B para a identidade de g(f(1A)) = g(1B) = 1C . Ou seja, verificar se:
(g circ f)(1A) = 1C
Primeiro, aplicamos :
Depois, aplicamos :
Portanto:
Isso confirma que também preserva a identidade.

Resposta

Prontinho! Demonstramos que a composição preserva tanto a adição quanto a multiplicação e mapeia a identidade corretamente. Portanto, é, de fato, um homomorfismo de anéis.

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