Sendo
e
homomorfismos de aneis, prove que
é homomorfismo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de álgebra, mais especificamente sobre homomorfismos de anéis. O que a gente precisa provar é que, dado dois homomorfismos de anéis
e
, a composição desses dois,
, também é um homomorfismo de anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo de anéis e como as propriedades dele se comportam na composição de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um homomorfismo de anéis. Um homomorfismo de anéis é uma função entre dois anéis que preserva as duas operações fundamentais dos anéis: a adição e a multiplicação. Ou seja, se
é um homomorfismo de anéis, então para todo
:
-
(Preserva a adição) -
(Preserva a multiplicação) -
(Se os anéis têm elemento identidade)
Vamos usar essas propriedades para verificar se a composição
também satisfaz essas condições.
Passo 3
Vamos verificar se
preserva a adição. Pegue dois elementos quaisquer
:
Como
é um homomorfismo, sabemos que:
Então:
Agora, como
também é um homomorfismo, ele preserva a adição:
Portanto:
Isso mostra que
preserva a adição.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
preserva a multiplicação. Mais uma vez, tome
:
Como
é um homomorfismo de anéis, temos:
Então:
E como
preserva a multiplicação:
Portanto:
Isso mostra que
preserva a multiplicação.
Passo 5
Por último, precisamos verificar se
mapeia a identidade de
para a identidade de
. Ou seja, verificar se:
Primeiro, aplicamos
:
Depois, aplicamos
:
Portanto:
Isso confirma que
também preserva a identidade.
Resposta
Prontinho! Demonstramos que a composição
preserva tanto a adição quanto a multiplicação e mapeia a identidade corretamente. Portanto,
é, de fato, um homomorfismo de anéis.