Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem que calcular a integral de
em relação a
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando o método de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir para facilitar a resolução.
Passo 2
Vamos usar a substituição para simplificar a integral. Primeiro, escolhemos uma parte da expressão para chamar de
. Aqui, uma boa escolha é
, porque a derivada disso vai aparecer na nossa integral.
Passo 3
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Isso significa que:
Ou, rearranjando:
Essa substituição vai nos ajudar a reescrever a integral em termos de
.
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Podemos tirar a constante
para fora da integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
. Lembrando que a integral de
é
mais a constante de integração
:
Passo 6
Voltando à nossa expressão com a constante
:
Agora, substituímos
de volta por
:
Resposta
A integral de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
A Regra da Cadeia pode ser usada repetidamente. Se
é função de
,
é função de
, e
é função de
, a regra fica
. Sabendo disso, calcule a derivada de
.
Calcule
nos casos abaixo.
Mostre que o raio de curvatura(raio do Círculo Osculador) de uma curva plana duas vezes derivável
é dado pela fórmula
Sendo
, onde os pontos indicam as derivadas em relação a
.
Encontre a equação cartesiana para o círculo osculador da curva
no ponto
.