integral(x^3+1)^1 / 3 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem que calcular a integral de em relação a . Isso está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando o método de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir para facilitar a resolução.

Passo 2

Vamos usar a substituição para simplificar a integral. Primeiro, escolhemos uma parte da expressão para chamar de . Aqui, uma boa escolha é , porque a derivada disso vai aparecer na nossa integral.

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de dudx = 3x^2 em relação a du = 3x^2 dx :
x^2 dx = du3
Isso significa que:
Ou, rearranjando:
Essa substituição vai nos ajudar a reescrever a integral em termos de .

Passo 4

Vamos substituir integral (x^3 + 1)^1/3 cdot x^2 dx = integral u^1/3 cdot du3 e 13 integral u^1/3 du na integral original:
Podemos tirar a constante para fora da integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^1/3 du = u^4/34/3 + C = 34 u^4/3 + C em relação a . Lembrando que a integral de é mais a constante de integração :

Passo 6

Voltando à nossa expressão com a constante 13 cdot 34 u^4/3 + C = 14 u^4/3 + C :
14 (x^3 + 1)^4/3 + C
Agora, substituímos de volta por :

Resposta

A integral de 14 (x^3 + 1)^4/3 + C em relação a é:

Exercícios relacionados

A Regra da Cadeia pode ser usada repetidamente. Se y é função de u, u é função de x, e x é função de t, a regra fica dy/dt = dy/du * du/dx * dx/dt. Sabendo disso, calcule a derivada de y = raiz(1 + tan^2(cos(x))).
Calcule d/y d/x nos casos abaixo. y = sen(raiz(x)) + raiz(sen(x))
Mostre que o raio de curvatura(raio do Círculo Osculador) de uma curva plana duas vezes derivável r(t) = f(t) i + g(t) j é dado pela fórmula
rho = (dot(x)^2 + dot(y)^2) / raiz(ddot(x)^2 + ddot(y)^2 - ddot(s)^2)
Sendo ddot(s) = d/dt raiz(dot(x)^2 + dot(y)^2), onde os pontos indicam as derivadas em relação a t.
Encontre a equação cartesiana para o círculo osculador da curva
r(t) = (2 ln t) i - (t + 1/t) j, e^(-2) <= t <= e^(2)
no ponto (0, -2).