(Valor: 1,54 pt.) Encontre a solução da equação diferencial:
Sugestão: Faça a seguinte substituição de variáveis:
.
Este tipo de equação aparece quando problemas de valores de contorno dependem exlusivamente da variável radial.
Este tipo de equação aparece quando problemas de valores de contorno dependem exlusivamente da variável radial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a solução da equação diferencial de segunda ordem:
Essa equação aparece em problemas onde a variável depende só da parte radial, ou seja, do raio
. A dica é usar a substituição
. Para resolver, vamos precisar entender como mudar variáveis em equações diferenciais e calcular derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida:
. Isso significa que
. Agora, precisamos reescrever as derivadas de
em relação a
para derivadas em relação a
.
Calculando a primeira derivada usando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra da derivada do produto:
Passo 4
Substituindo as expressões das derivadas na equação diferencial original:
Simplificando os termos:
Os termos
se cancelam:
Passo 5
Agora, a equação fica bem mais simples:
Integrando uma vez em relação a
:
Onde
é uma constante de integração. Integrando novamente:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Por último, voltamos para a variável original
, lembrando que
. Substituindo na solução:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: