(Valor: 1,54 pt.) Encontre a solução da equação diferencial:
d^2d r^2 u(r)+1r dd r u(r)=0
Sugestão: Faça a seguinte substituição de variáveis: r=e^x.
Este tipo de equação aparece quando problemas de valores de contorno dependem exlusivamente da variável radial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a solução da equação diferencial de segunda ordem:
d^2udr^2 + 1r dudr = 0
Essa equação aparece em problemas onde a variável depende só da parte radial, ou seja, do raio r. A dica é usar a substituição r = e^x. Para resolver, vamos precisar entender como mudar variáveis em equações diferenciais e calcular derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: r = e^x. Isso significa que x = ln(r). Agora, precisamos reescrever as derivadas de u em relação a r para derivadas em relação a x.
Calculando a primeira derivada usando a regra da cadeia:
dudr = dudx cdot dxdr = 1r dudx

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de u em relação a r:
d^2udr^2 = ddr ( 1r dudx )
Aplicando a regra da derivada do produto:
d^2udr^2 = -1r^2 dudx + 1r^2 d^2udx^2

Passo 4

Substituindo as expressões das derivadas na equação diferencial original:
( -1r^2 dudx + 1r^2 d^2udx^2 ) + 1r ( 1r dudx ) = 0
Simplificando os termos:
-1r^2 dudx + 1r^2 d^2udx^2 + 1r^2 dudx = 0
Os termos dudx se cancelam:
1r^2 d^2udx^2 = 0 implies d^2udx^2 = 0

Passo 5

Agora, a equação fica bem mais simples:
d^2udx^2 = 0
Integrando uma vez em relação a x:
dudx = C1
Onde C1 é uma constante de integração. Integrando novamente:
u(x) = C1 x + C2
Onde C2 é outra constante de integração.

Passo 6

Por último, voltamos para a variável original r, lembrando que x = ln(r). Substituindo na solução:
u(r) = C1 ln(r) + C2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
u(r) = C1 ln(r) + C2

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