Encontre uma equação para o círculo que tem centro (-1, 4) e passa pelo ponto (3, -2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para nós encontrarmos a equação de um círculo que tem o centro no ponto (-1, 4) e que passa pelo ponto (3, -2). Para resolver isso, vamos usar a fórmula geral da equação do círculo e a distância entre dois pontos para encontrar o raio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da equação de um círculo. A equação padrão de um círculo com centro em e raio é:
Aqui, são as coordenadas do centro do círculo e é o raio.

Passo 3

Neste exercício, o centro do círculo é . Então, substituindo e na fórmula, temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de , o raio do círculo. Sabemos que o círculo passa pelo ponto , então a distância entre o centro e esse ponto será igual ao raio .
A fórmula para a distância entre dois pontos e é:

Passo 5

Aplicando essa fórmula para os pontos e , temos:
Podemos simplificar para , mas vamos manter para facilitar na equação.

Passo 6

Agora que temos o valor de , substituímos na equação do círculo:
Simplificando o lado direito:

Resposta

A equação do círculo é:

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f) Encontre uma equação para o círculo para o qual AB é um diâmetro.
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e)