Seja o conjunto
.
(a) Verificar que
é um Domínio de Integridade.
(a) Verificar que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar que o conjunto
é um Domínio de Integridade. Isso está relacionado ao algebra, especificamente a estruturas chamadas anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um domínio de integridade e como provar que
satisfaz as condições necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um Domínio de Integridade. Em álgebra, um domínio de integridade é um anel comutativo com unidade (ou seja, tem o elemento 1) onde o produto de dois elementos não nulos nunca é zero. Isso significa que não existem “divisores de zero” no conjunto. Básicamente, se
e
, então
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é um anel comutativo com unidade.
-
Comutatividade: A adição e a multiplicação de elementos em
são comutativas porque a multiplicação de números complexos é comutativa. Ou seja, para quaisquer , temos . -
Unidade: O elemento
está em (quando e ), e multiplicar qualquer elemento por retorna o próprio elemento, então o conjunto possui a unidade.
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que não há divisores de zero em
. Isso significa que se
, então necessariamente
ou
.
Suponha que
e
sejam elementos de
tal que
. Vamos calcular:
Sabemos que
, então:
Para que esse produto seja zero, tanto a parte real quanto a parte imaginária devem ser zero:
- Parte real:
- Parte imaginária:
Passo 5
Agora, temos um sistema de equações:
Queremos mostrar que a única solução para este sistema é
ou
, o que implicaria que
ou
.
Vamos tentar resolver o sistema. Da segunda equação, podemos isolar uma das variáveis, por exemplo:
Substituindo na primeira equação:
Multiplicando tudo por
para eliminar o denominador:
Como
e
são inteiros, temos duas possibilidades:
-
Caso 1:Se
, da segunda equação , obtemos . Como , temos dois subcasos: - Se
, então . - Se
, então .
Em ambos os subcasos, pelo menos um dos elementos é zero. - Se
-
Caso 2:Isso implica
. Como e são quadrados perfeitos (não negativos), a única solução é e , ou seja, .
Passo 6
Concluímos que a única maneira de ter
em
é se
ou
. Isso significa que não existem “divisores de zero” no conjunto.
Resposta
Portanto,
é um Domínio de Integridade.
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(a)
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Elipse, focos , vértices
Elipse, focos