Seja o conjunto Z[raiz-2]=a+b raiz-2: a, b in Z.
(a) Verificar que Z[raiz-2] é um Domínio de Integridade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar que o conjunto Z[raiz-2] = a + braiz-2 : a, b in Z é um Domínio de Integridade. Isso está relacionado ao algebra, especificamente a estruturas chamadas anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um domínio de integridade e como provar que Z[raiz-2] satisfaz as condições necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um Domínio de Integridade. Em álgebra, um domínio de integridade é um anel comutativo com unidade (ou seja, tem o elemento 1) onde o produto de dois elementos não nulos nunca é zero. Isso significa que não existem “divisores de zero” no conjunto. Básicamente, se a neq 0 e b neq 0, então a cdot b neq 0.

Passo 3

Agora, vamos verificar se Z[raiz-2] é um anel comutativo com unidade.
  • Comutatividade: A adição e a multiplicação de elementos em Z[raiz-2] são comutativas porque a multiplicação de números complexos é comutativa. Ou seja, para quaisquer x, y in Z[raiz-2], temos x cdot y = y cdot x.
  • Unidade: O elemento 1 está em Z[raiz-2] (quando a=1 e b=0), e multiplicar qualquer elemento por 1 retorna o próprio elemento, então o conjunto possui a unidade.

Passo 4

Agora, precisamos mostrar que não há divisores de zero em Z[raiz-2]. Isso significa que se x cdot y = 0, então necessariamente x = 0 ou y = 0.
Suponha que x = a + braiz-2 e y = c + draiz-2 sejam elementos de Z[raiz-2] tal que x cdot y = 0. Vamos calcular:
x cdot y = (a + braiz-2)(c + draiz-2) = ac + (ad + bc)raiz-2 + bd(raiz-2)^2
Sabemos que (raiz-2)^2 = -2, então:
x cdot y = ac + (ad + bc)raiz-2 - 2bd
Para que esse produto seja zero, tanto a parte real quanto a parte imaginária devem ser zero:
  1. Parte real: ac - 2bd = 0
  2. Parte imaginária: ad + bc = 0

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações:
ac - 2bd = 0 ad + bc = 0
Queremos mostrar que a única solução para este sistema é a = b = 0 ou c = d = 0, o que implicaria que x = 0 ou y = 0.
Vamos tentar resolver o sistema. Da segunda equação, podemos isolar uma das variáveis, por exemplo:
ad = -bc implies a = -bcd (d neq 0)
Substituindo na primeira equação:
(-bcd)c - 2bd = -b c^2d - 2b d = 0
Multiplicando tudo por d para eliminar o denominador:
- b c^2 - 2b d^2 = 0 implies b(-c^2 - 2d^2) = 0
Como b e d são inteiros, temos duas possibilidades:
  1. Caso 1: b = 0
    Se b = 0, da segunda equação ad + bc = 0, obtemos ad = 0. Como b = 0, temos dois subcasos:
    • Se a neq 0, então d = 0.
    • Se a = 0, então x = 0.
    Em ambos os subcasos, pelo menos um dos elementos é zero.
  2. Caso 2: -c^2 - 2d^2 = 0
    Isso implica c^2 + 2d^2 = 0. Como c^2 e d^2 são quadrados perfeitos (não negativos), a única solução é c = 0 e d = 0, ou seja, y = 0.

Passo 6

Concluímos que a única maneira de ter x cdot y = 0 em Z[raiz-2] é se x = 0 ou y = 0. Isso significa que não existem “divisores de zero” no conjunto.

Resposta

Portanto, Z[raiz-2] é um Domínio de Integridade.

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