Seja o conjunto .
(a) Verificar que é um Domínio de Integridade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar que o conjunto é um Domínio de Integridade. Isso está relacionado ao algebra, especificamente a estruturas chamadas anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um domínio de integridade e como provar que satisfaz as condições necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um Domínio de Integridade. Em álgebra, um domínio de integridade é um anel comutativo com unidade (ou seja, tem o elemento 1) onde o produto de dois elementos não nulos nunca é zero. Isso significa que não existem “divisores de zero” no conjunto. Básicamente, se e , então .

Passo 3

Agora, vamos verificar se é um anel comutativo com unidade.
  • Comutatividade: A adição e a multiplicação de elementos em são comutativas porque a multiplicação de números complexos é comutativa. Ou seja, para quaisquer , temos .
  • Unidade: O elemento está em (quando e ), e multiplicar qualquer elemento por retorna o próprio elemento, então o conjunto possui a unidade.

Passo 4

Agora, precisamos mostrar que não há divisores de zero em . Isso significa que se , então necessariamente ou .
Suponha que e sejam elementos de tal que . Vamos calcular:
Sabemos que , então:
Para que esse produto seja zero, tanto a parte real quanto a parte imaginária devem ser zero:
  1. Parte real:
  2. Parte imaginária:

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações:
Queremos mostrar que a única solução para este sistema é ou , o que implicaria que ou .
Vamos tentar resolver o sistema. Da segunda equação, podemos isolar uma das variáveis, por exemplo:
Substituindo na primeira equação:
Multiplicando tudo por para eliminar o denominador:
Como e são inteiros, temos duas possibilidades:
  1. Caso 1:
    Se , da segunda equação , obtemos . Como , temos dois subcasos:
    • Se , então .
    • Se , então .
    Em ambos os subcasos, pelo menos um dos elementos é zero.
  2. Caso 2:
    Isso implica . Como e são quadrados perfeitos (não negativos), a única solução é e , ou seja, .

Passo 6

Concluímos que a única maneira de ter em é se ou . Isso significa que não existem “divisores de zero” no conjunto.

Resposta

Portanto, é um Domínio de Integridade.

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