1. Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas e esboce o gráfico:
    (b) [1 ponto] Hipérbole: Vértices: ( pm 3,0), distância focal: 12 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérbole! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole que tem os vértices em (pm 3, 0) e a distância entre os focos é 12. Para isso, vamos usar as fórmulas padrão das hipérboles e entender os termos envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma hipérbole com eixo transversal horizontal é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Aqui, (h, k) é o centro da hipérbole, a é a distância do centro até cada vértice, e b está relacionado com a distância dos “lados” da hipérbole.

Passo 3

No nosso caso, os vértices são (pm 3, 0), então o centro (h, k) é (0, 0) porque eles estão simetricamente espalhados em relação à origem. Então, temos h = 0 e k = 0.

Passo 4

A distância a é a distância do centro até cada vértice. Como os vértices estão em (pm 3, 0), a = 3. Então, a^2 = 9.

Passo 5

Agora, a distância focal total é dada como 12. Isso significa que a distância de um foco ao outro é 12. Como os focos também estão simetricamente espalhados em relação ao centro, cada foco está a c = 122 = 6 unidades do centro. Então, c = 6.

Passo 6

Para hipérboles, sabemos que existe a relação:
c^2 = a^2 + b^2
Vamos substituir os valores que já temos:
6^2 = 3^2 + b^2 36 = 9 + b^2 b^2 = 36 - 9 b^2 = 27

Passo 7

Agora que temos todos os valores, podemos montar a equação da hipérbole substituindo h, k, a^2, e b^2 na fórmula padrão:
x^29 - y^227 = 1

Resposta

A equação da hipérbole é:
x^29 - y^227 = 1

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