Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas e esboce o gráfico:
(b) [1 ponto] Hipérbole: Vértices: , distância focal: 12 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérbole! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole que tem os vértices em e a distância entre os focos é 12. Para isso, vamos usar as fórmulas padrão das hipérboles e entender os termos envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma hipérbole com eixo transversal horizontal é:
Aqui, é o centro da hipérbole, é a distância do centro até cada vértice, e está relacionado com a distância dos “lados” da hipérbole.
Passo 3
No nosso caso, os vértices são , então o centro é porque eles estão simetricamente espalhados em relação à origem. Então, temos e .
Passo 4
A distância é a distância do centro até cada vértice. Como os vértices estão em , . Então, .
Passo 5
Agora, a distância focal total é dada como 12. Isso significa que a distância de um foco ao outro é 12. Como os focos também estão simetricamente espalhados em relação ao centro, cada foco está a unidades do centro. Então, .
Passo 6
Para hipérboles, sabemos que existe a relação:
Vamos substituir os valores que já temos:
Passo 7
Agora que temos todos os valores, podemos montar a equação da hipérbole substituindo , , , e na fórmula padrão: