Seja uma CMTD com espaço de estados , vetor de probabilidade inicial e matriz de transição:
Calcule

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma Cadeia de Markov de Tempo Discreto (CMTD) com três estados: 0, 1 e 2. A distribuição inicial das probabilidades está dada por , e a matriz de transição nos mostra as probabilidades de passar de um estado para outro. A pergunta quer saber qual é a probabilidade de começarmos no estado 0, depois irmos para o estado 1 e, em seguida, permanecer no estado 1. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das cadeias de Markov e multiplicar as probabilidades de transição correspondentes.

Passo 2

Primeiro, identificamos a probabilidade de começar no estado 0. Isso está diretamente no vetor de probabilidade inicial . Então,

Passo 3

Agora, queremos saber a probabilidade de ir do estado 0 para o estado 1 no próximo passo. Isso está na matriz de transição , na posição que corresponde de 0 para 1. Observando a matriz:
A probabilidade de ir de 0 para 1 �� . Então,

Passo 4

Depois, queremos a probabilidade de permanecer no estado 1, ou seja, de ir de 1 para 1 no próximo passo. Novamente, olhamos na matriz de transição , na posição de 1 para 1:

Passo 5

Agora, para encontrar a probabilidade conjunta de todos esses eventos acontecerem na sequência desejada, multiplicamos as probabilidades que calculamos nos passos anteriores. Isso segue a propriedade de que, em uma cadeia de Markov, a probabilidade de uma sequência de estados é o produto das probabilidades de transição entre estados consecutivos.
Então,
Substituindo os valores:

Resposta

Calculando os valores:
E então,
Então, a probabilidade é .

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Determine
(b) .