Seja Xnn >= 0 uma CMTD com espaço de estados E=0,1,2, vetor de probabilidade inicial v(0)=(1 / 4,1 / 2,1 / 4) e matriz de transição:
P=(ccc 1 / 4 & 3 / 4 & 0 1 / 3 & 1 / 3 & 1 / 3 0 & 1 / 4 & 3 / 4 )
Calcule P(X0=0, X1=1, X2=1)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma Cadeia de Markov de Tempo Discreto (CMTD) com três estados: 0, 1 e 2. A distribuição inicial das probabilidades está dada por v(0) = (1/4, 1/2, 1/4), e a matriz de transição P nos mostra as probabilidades de passar de um estado para outro. A pergunta quer saber qual é a probabilidade de começarmos no estado 0, depois irmos para o estado 1 e, em seguida, permanecer no estado 1. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das cadeias de Markov e multiplicar as probabilidades de transição correspondentes.

Passo 2

Primeiro, identificamos a probabilidade de começar no estado 0. Isso está diretamente no vetor de probabilidade inicial v(0). Então,
P(X0 = 0) = 14

Passo 3

Agora, queremos saber a probabilidade de ir do estado 0 para o estado 1 no próximo passo. Isso está na matriz de transição P, na posição que corresponde de 0 para 1. Observando a matriz:
P = 14 & 34 & 0 13 & 13 & 13 0 & 14 & 34
A probabilidade de ir de 0 para 1 �� 34. Então,
P(X1 = 1 mid X0 = 0) = 34

Passo 4

Depois, queremos a probabilidade de permanecer no estado 1, ou seja, de ir de 1 para 1 no próximo passo. Novamente, olhamos na matriz de transição P, na posição de 1 para 1:
P(X2 = 1 mid X1 = 1) = 13

Passo 5

Agora, para encontrar a probabilidade conjunta de todos esses eventos acontecerem na sequência desejada, multiplicamos as probabilidades que calculamos nos passos anteriores. Isso segue a propriedade de que, em uma cadeia de Markov, a probabilidade de uma sequência de estados é o produto das probabilidades de transição entre estados consecutivos.
Então,
P(X0 = 0, X1 = 1, X2 = 1) = P(X0 = 0) times P(X1 = 1 mid X0 = 0) times P(X2 = 1 mid X1 = 1)
Substituindo os valores:
P(X0 = 0, X1 = 1, X2 = 1) = 14 times 34 times 13

Resposta

Calculando os valores:
14 times 34 = 316
E então,
316 times 13 = 116
Então, a probabilidade é boxeddfrac116.

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