Encontre a solução geral de cada uma das seguintes equações.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos achar a solução geral dessa equação, que é uma combinação de soluções que satisfazem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos formular a equação característica associada à equação diferencial. Para isso, substituímos as derivadas por potências de uma variável auxiliar, geralmente
. Assim, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar as raízes
. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Substituindo esses valores:
Passo 4
Observamos que o discriminante
é negativo, o que indica que as raízes são complexas conjugadas. Podemos escrever as raízes como:
Aqui,
é a unidade imaginária.
Passo 5
Para equações com raízes complexas da forma
, a solução geral é dada por:
No nosso caso,
e
. Substituindo esses valores na fórmula:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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.
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b.
b.