Encontre a solução geral de cada uma das seguintes equações.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos achar a solução geral dessa equação, que é uma combinação de soluções que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos formular a equação característica associada à equação diferencial. Para isso, substituímos as derivadas por potências de uma variável auxiliar, geralmente . Assim, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar as raízes . Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Substituindo esses valores:

Passo 4

Observamos que o discriminante é negativo, o que indica que as raízes são complexas conjugadas. Podemos escrever as raízes como:
Aqui, é a unidade imaginária.

Passo 5

Para equações com raízes complexas da forma , a solução geral é dada por:
No nosso caso, e . Substituindo esses valores na fórmula:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas cilíndricas.
Resolva os problemas de valor inicial.
Use o método de variação de parâmetros e encontre a solução geral da EDO .
Encontre a solução geral dos seguintes sistemas abaixo:
b.