Use o método de variação de parâmetros e encontre a solução geral da EDO
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem usando o método de variação de parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação linear não homogênea. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é composta pela solução da equação homogênea (com o lado direito igual a zero) e uma solução particular da equação completa. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos achar a solução complementar resolvendo a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo
:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como o discriminante
, temos raízes reais e iguais:
Então, a solução complementar é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) usando o método de variação de parâmetros. A equação completa é:
Primeiro, observamos que o lado direito
é semelhante às soluções da equação homogênea. Por isso, para evitar soluções coincidentes, vamos supor a seguinte forma para
:
Onde
e
são funções que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos determinar
e
utilizando as fórmulas do método de variação de parâmetros. As equações são:
Onde:
-
e são soluções da equação homogênea. -
é o lado direito da equação. -
é o Wronskiano, dado por:
Calculando o Wronskiano:
Então,
Agora, calculamos
e
:
Integrando para encontrar
e
:
Desconsideramos as constantes de integração pois já estão incluídas na solução complementar. Assim:
Passo 5
Finalmente, combinamos a solução complementar
com a solução particular
para obter a solução geral da equação diferencial:
Podemos simplificar fatores comuns:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
s��o constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral de cada uma das seguintes equações.
.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas cilíndricas.
Encontre a solução geral dos seguintes sistemas abaixo:
b.
b.
Encontre a solução geral das seguintes EDOb.