Use o método de variação de parâmetros e encontre a solução geral da EDO .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem usando o método de variação de parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação linear não homogênea. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é composta pela solução da equação homogênea (com o lado direito igual a zero) e uma solução particular da equação completa. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos achar a solução complementar resolvendo a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo :
Resolvendo essa equação quadrática:
Como o discriminante , temos raízes reais e iguais:
Então, a solução complementar é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) usando o método de variação de parâmetros. A equação completa é:
Primeiro, observamos que o lado direito é semelhante às soluções da equação homogênea. Por isso, para evitar soluções coincidentes, vamos supor a seguinte forma para :
Onde e são funções que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos determinar e utilizando as fórmulas do método de variação de parâmetros. As equações são:
Onde:
  • e são soluções da equação homogênea.
  • é o lado direito da equação.
  • é o Wronskiano, dado por:
Calculando o Wronskiano:
Então,
Agora, calculamos e :
Integrando para encontrar e :
Desconsideramos as constantes de integração pois já estão incluídas na solução complementar. Assim:

Passo 5

Finalmente, combinamos a solução complementar com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Podemos simplificar fatores comuns:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e s��o constantes arbitrárias.

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Encontre a solução geral de cada uma das seguintes equações.
.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas cilíndricas.
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b.
Encontre a solução geral das seguintes EDOb.