Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para transformar uma equação em coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas. Ou seja, temos uma superfície descrita em coordenadas esféricas e precisamos encontrar como ela fica no sistema cartesiano. Para isso, vamos precisar das fórmulas de conversão entre essas duas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas e cartesianas. Nas coordenadas esféricas, temos três parâmetros:
: a distância do ponto até a origem.
: o ângulo no plano xy, medindo a partir do eixo x.
: o ângulo entre o vetor posição e o eixo z.
Já nas coordenadas cartesianas, usamos , , e para definir a posição de um ponto no espaço.
Passo 3
As fórmulas de conversão entre coordenadas esféricas e cartesianas são:
No nosso caso, a equação esférica é .
Passo 4
Vamos substituir a equação dada na fórmula de :
Substituindo por :
Agora, sabemos que . Como , podemos escrever:
Da equação anterior, sabemos que , então substituindo:
Resposta
A equação da superfície em coordenadas cartesianas é: