Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas esféricas.
rho = 6 cos e c phi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para transformar uma equação em coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas. Ou seja, temos uma superfície descrita em coordenadas esféricas e precisamos encontrar como ela fica no sistema cartesiano. Para isso, vamos precisar das fórmulas de conversão entre essas duas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas e cartesianas. Nas coordenadas esféricas, temos três parâmetros:
  • : a distância do ponto até a origem.
  • : o ângulo no plano xy, medindo a partir do eixo x.
  • : o ângulo entre o vetor posição e o eixo z.
Já nas coordenadas cartesianas, usamos , , e para definir a posição de um ponto no espaço.

Passo 3

As fórmulas de conversão entre coordenadas esféricas e cartesianas são:
No nosso caso, a equação esférica é .

Passo 4

Vamos substituir a equação dada na fórmula de :
Substituindo por :
Agora, sabemos que . Como , podemos escrever:
Da equação anterior, sabemos que , então substituindo:

Resposta

A equação da superfície em coordenadas cartesianas é:

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Estude a integrabilidade das funções dadas.
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