Mostre que os pontos que formam o ciclo de período-2, que nasce em mu = -3/4, satisfazem a equação:
mu + (mu + x^2)^2 = x
Explique por que esse polinômio deve ter, como raízes, os pontos fixos já calculados. Isso permite reescrevê-lo como:
(mu + x^2)^2 - x + mu = (x^2 - x + mu) p(x) = 0
Mosre que p(x) = x^2 + x + mu + 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que os pontos que formam um ciclo de período-2, que surge quando , satisfazem uma certa equação quadrática. Além disso, precisamos explicar por que esse polinômio tem como raízes os pontos fixos já calculados e, por fim, demonstrar que uma parte desse polinômio é igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de sistemas e álgebra, como equações quadráticas e fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ciclo de período-2. Em sistemas dinâmicos, um ciclo de período-2 ocorre quando, após duas iterações, o sistema retorna ao estado inicial, mas não antes disso. Isso significa que os pontos e satisfazem , onde f é a função do sistema.
Dado que , substituímos na equação dada:
Agora, vamos expandir o termo ao quadrado:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando os termos constantes:

Passo 3

Agora, observamos que esse polinômio quartico pode ser fatorado. Sabemos que os pontos fixos do sistema satisfazem , portanto, eles devem ser raízes do polinômio resultante. Supondo que temos dois pontos fixos, podemos fatorar o polinômio como:
Onde p(x) é um polinômio de segundo grau que precisamos determinar. Comparando com a equação anterior:

Passo 4

Para encontrar p(x), vamos dividir o polinômio quartico pelo fator . Realizando a divisão polinomial:
Substituindo :
No entanto, de acordo com o enunciado, precisamos mostrar que:
Confirmando com :

Resposta

Concluímos que os pontos que formam o ciclo de período-2 satisfazem a equação , e o polinômio pode ser reescrito como , onde .

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