Mostre que os pontos que formam o ciclo de período-2, que nasce em
, satisfazem a equação:
Explique por que esse polinômio deve ter, como raízes, os pontos fixos já calculados. Isso permite reescrevê-lo como:
Mosre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que os pontos que formam um ciclo de período-2, que surge quando
, satisfazem uma certa equação quadrática. Além disso, precisamos explicar por que esse polinômio tem como raízes os pontos fixos já calculados e, por fim, demonstrar que uma parte desse polinômio é igual a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de sistemas e álgebra, como equações quadráticas e fatoração de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ciclo de período-2. Em sistemas dinâmicos, um ciclo de período-2 ocorre quando, após duas iterações, o sistema retorna ao estado inicial, mas não antes disso. Isso significa que os pontos
e
satisfazem
, onde
é a função do sistema.
Dado que
, substituímos na equação dada:
Agora, vamos expandir o termo ao quadrado:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando os termos constantes:
Passo 3
Agora, observamos que esse polinômio quartico pode ser fatorado. Sabemos que os pontos fixos do sistema satisfazem
, portanto, eles devem ser raízes do polinômio resultante. Supondo que temos dois pontos fixos, podemos fatorar o polinômio como:
Onde
é um polinômio de segundo grau que precisamos determinar. Comparando com a equação anterior:
Passo 4
Para encontrar
, vamos dividir o polinômio quartico pelo fator
. Realizando a divisão polinomial:
Substituindo
:
No entanto, de acordo com o enunciado, precisamos mostrar que:
Confirmando com
:
Resposta
Concluímos que os pontos que formam o ciclo de período-2 satisfazem a equação
, e o polinômio pode ser reescrito como
, onde
.