Para um mesmo valor de , o comportamento dinâmico calculado numericamente pode variar radicalmente, alterando-se o valor do passo de integração .
Discuta os possíveis comportamentos, como função de , no que se refere à estabilidade das soluções, dobramentos de período e regime caótico. Indique os valores de onde estes comportamentos são observados.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um valor fixo de e queremos ver como o comportamento do sistema dinâmico muda quando variamos o passo de integração . Para resolver isso, vamos precisar falar sobre estabilidade das soluções, dobramentos de período e regimes caóticos, tudo isso em função de . Vamos usar conceitos básicos de métodos numéricos para resolver equações diferenciais e entender como o passo de integração afeta o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre estabilidade das soluções. Em métodos numéricos, especialmente os métodos explícitos como o de Euler, o passo de integração precisa ser pequeno o suficiente para que o método seja estável. Se for muito grande, o erro numérico pode crescer exponencialmente, fazendo com que a solução se desvie muito da solução real. Por exemplo, se estamos resolvendo uma equação diferencial que descreve um pêndulo, um muito grande pode fazer com que o pêndulo pareça “explodir” ao invés de oscilar suavemente.

Passo 3

Agora, sobre os dobramentos de período. Isso acontece quando, ao aumentar ou diminuir , o sistema começa a oscilar com períodos que são múltiplos do período original. Ou seja, se originalmente o sistema tem um comportamento periódico, ao mudar , ele pode começar a ter dois períodos, quatro, e assim por diante. Isso é um indicativo de que o passo de integração está influenciando a dinâmica do sistema, possivelmente levando a comportamentos mais complexos.

Passo 4

Passando para o regime caótico, isso ocorre quando o sistema apresenta uma sensibilidade extrema às condições iniciais, resultando em trajetórias que parecem aleatórias. No contexto do passo de integração , se este for inadequado (muito grande), pode introduzir instabilidades numéricas que fazem o sistema parecer caótico mesmo que, teoricamente, não devesse ser. Ou seja, o erro introduzido pelo passo de integração pode “enganar” o sistema, fazendo-o mostrar comportamentos caóticos.

Passo 5

Então, quais são os valores de onde observamos esses comportamentos? De maneira geral:
  • Estabilidade: Para garantir estabilidade, devemos escolher pequeno o suficiente. Não há um valor único, mas geralmente, passos menores aumentam a estabilidade. Por exemplo, se for menor que o inverso da maior derivada da função, o método tende a ser estável.
  • Dobramentos de período: Isso ocorre quando atinge valores que começam a interagir de maneira ressonante com a dinâmica do sistema. Não há um valor fixo, mas tipicamente, conforme aumenta, esses dobramentos começam a aparecer.
  • Regime caótico: Normalmente, isso aparece com passos de integração inadequadamente grandes que não conseguem capturar a verdadeira dinâmica do sistema, introduzindo erros que levam ao caos numérico.

Resposta

Resumindo, ao variar o passo de integração para um valor fixo de , observamos que:
  • Para valores pequenos de , garantimos a estabilidade das soluções, evitando erros numéricos grandes.
  • Conforme aumenta, podem surgir dobramentos de período, indicando transições para dinâmicas mais complexas.
  • Com valores ainda maiores de , o sistema pode entrar em um regime caótico devido a instabilidades numéricas.
Escolher o valor adequado de é crucial para equilibrar a precisão e a estabilidade na resolução numérica de sistemas dinâmicos.

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Mostre que os pontos que formam o ciclo de período-2, que nasce em , satisfazem a equação:
Explique por que esse polinômio deve ter, como raízes, os pontos fixos já calculados. Isso permite reescrevê-lo como:
Mosre que .
Verifique que 0 , 1 e 2 constituem uma órbita periódica do mapa:
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