Encontre a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. O conteúdo envolvido aqui são equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação característica.
Passo 2
Primeiro, construímos a equação característica associada à equação diferencial dada. Para uma equação da forma
, a equação característica é
. No nosso caso, temos
,
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação quadrática
. Isso pode ser feito fatorando ou usando a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
Então, temos uma raiz dupla
.
Passo 4
Como temos raízes reais e iguais (dobro), a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo
:
Onde
e
são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.
Resposta
A solu��ão geral da equação diferencial é: