Sejam e funções diferenciáveis em um intervalo aberto . Mostre que, em geral, não é verdade que , para todo em .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções diferenciáveis, e , em um intervalo aberto . Queremos mostrar que, geralmente, o Wronskiano de e , denotado por , não é igual ao Wronskiano de e , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar saber o que é o Wronskiano e como ele é calculado.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções e é dado por:
Ele é uma ferramenta usada na teoria de equações diferenciais para verificar a linearidade e a independência de soluções.

Passo 3

Agora, vamos calcular o Wronskiano de e . Aplicando a mesma fórmula:

Passo 4

Vamos comparar e . Observando as duas expressões:
Percebemos que:

Passo 5

A igualdade mostra que, a menos que o Wronskiano seja zero, não é igual a . Como o Wronskiano geralmente não é zero para funções independentes, concluímos que, em geral, .

Resposta

Em geral, não é igual a porque , a menos que o Wronskiano seja zero.

Exercícios relacionados

  • Encontre uma equação diferencial que admite as duas soluções e .
  • Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Encontre a solução geral da equação diferencial.
Encontre a solução do problema de valor inicial.
,