Sejam
e
funções diferenciáveis em um intervalo aberto
. Mostre que, em geral, não é verdade que
, para todo
em
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções diferenciáveis,
e
, em um intervalo aberto
. Queremos mostrar que, geralmente, o Wronskiano de
e
, denotado por
, não é igual ao Wronskiano de
e
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é o Wronskiano e como ele é calculado.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções
e
é dado por:
Ele é uma ferramenta usada na teoria de equações diferenciais para verificar a linearidade e a independência de soluções.
Passo 3
Agora, vamos calcular o Wronskiano de
e
. Aplicando a mesma fórmula:
Passo 4
Vamos comparar
e
. Observando as duas expressões:
Percebemos que:
Passo 5
A igualdade
mostra que, a menos que o Wronskiano seja zero,
não é igual a
. Como o Wronskiano geralmente não é zero para funções independentes, concluímos que, em geral,
.
Resposta
Em geral,
não é igual a
porque
, a menos que o Wronskiano seja zero.
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e .
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,