Sejam f e g funções diferenciáveis em um intervalo aberto I. Mostre que, em geral, não é verdade que W(f, g)(t) = W(g, f)(t), para todo t em I.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções diferenciáveis, f e g, em um intervalo aberto I. Queremos mostrar que, geralmente, o Wronskiano de f e g, denotado por W(f, g)(t), não é igual ao Wronskiano de g e f, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar saber o que é o Wronskiano e como ele é calculado.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções f e g é dado por:
Ele é uma ferramenta usada na teoria de equações diferenciais para verificar a linearidade e a independência de soluções.

Passo 3

Agora, vamos calcular o Wronskiano de g e f. Aplicando a mesma fórmula:

Passo 4

Vamos comparar W(f, g)(t) e . Observando as duas expressões:
Percebemos que:

Passo 5

A igualdade mostra que, a menos que o Wronskiano seja zero, W(f, g)(t) não é igual a . Como o Wronskiano geralmente não é zero para funções independentes, concluímos que, em geral, .

Resposta

Em geral, W(f, g)(t) não é igual a porque , a menos que o Wronskiano seja zero.

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